Determine o perímetro de um triângulo retângulo, sabendo que sua área é igual a 36 cm^2 e que a hipotenusa é igual ao dobro da altura relativa a ela.

Passo 1

O enunciado quer o perímetro de um triângulo retângulo cuja área vale 36 cm^2 e em que a hipotenusa é o dobro da altura relativa a ela. Vamos usar a fórmula da área de triângulo retângulo e a relação entre hipotenusa e altura relativa.

Passo 2

Sejam a e b os catetos e c a hipotenusa. A área de um triângulo retângulo é
A = a,b2
Como A=36, temos
a,b = 72

Passo 3

A altura h relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo satisfaz
h = a,bc
Como a hipotenusa vale o dobro dessa altura, c = 2,h. Substituindo:
c = 2,a,bc Longrightarrow c^2 = 2,a,b

Passo 4

Substituindo a,b = 72 em c^2 = 2,a,b, vem
c^2 = 2 times 72 = 144 Longrightarrow c = 12

Passo 5

Sabendo que a,b=72 e que também vale a^2 + b^2 = c^2 =144, escrevemos
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 144 - 2cdot72 = 0
logo a = b. Portanto,
a^2 = a,b = 72 Longrightarrow a = b = 6raiz2

Passo 6

O perímetro do triângulo é
P = a + b + c = 6raiz2 + 6raiz2 + 12 = 12raiz2 + 12

Resposta

O perímetro do triângulo é 12raiz2 + 12 cm.

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