Mostre que a soma das distâncias de um ponto interno de um triângulo equilátero aos lados é igual à altura
do triângulo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo equilátero de altura
, a soma das distâncias perpendiculares de um ponto
interno aos três lados é igual a
. O conteúdo que vamos usar é cálculo de áreas de triângulos e a decomposição da área do triângulo original em três triângulos menores que têm base comum.
Passo 2
Seja
o triângulo equilátero de lado
e altura
, e
um ponto interno a ele. Denotemos por
,
e
as distâncias de
aos lados
,
e
, respectivamente. Cada uma dessas distâncias é a altura do triângulo formado por
e o respectivo lado como base.
Passo 3
A área de
vale
Por outro lado, dividindo
em três triângulos
,
e
, temos
Passo 4
Como a soma das áreas dos três triângulos menores é a área do triângulo original, segue
Fatorando
em ambos os lados,
Resposta
Dessa forma, a soma das distâncias de qualquer ponto interno do triângulo equilátero aos três lados é igual à altura
do triângulo.