Mostre que a soma das distâncias de um ponto interno de um triângulo equilátero aos lados é igual à altura h do triângulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um triângulo equilátero de altura h, a soma das distâncias perpendiculares de um ponto P interno aos três lados é igual a h. O conteúdo que vamos usar é cálculo de áreas de triângulos e a decomposição da área do triângulo original em três triângulos menores que têm base comum.

Passo 2

Seja ABC o triângulo equilátero de lado a e altura h, e P um ponto interno a ele. Denotemos por d1, d2 e d3 as distâncias de P aos lados BC, CA e AB, respectivamente. Cada uma dessas distâncias é a altura do triângulo formado por P e o respectivo lado como base.

Passo 3

A área de ABC vale
Área(ABC)=a,h2 Á
Por outro lado, dividindo ABC em três triângulos PBC, PCA e PAB, temos
Área(PBC)=a,d12, Área(PCA)=a,d22, Área(PAB)=a,d32 ÁÁÁ

Passo 4

Como a soma das áreas dos três triângulos menores é a área do triângulo original, segue
a,d12 + a,d22 + a,d32 =a,h2
Fatorando tfraca2 em ambos os lados,
d1 + d2 + d3 = h

Resposta

Dessa forma, a soma das distâncias de qualquer ponto interno do triângulo equilátero aos três lados é igual à altura h do triângulo.

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