O ponto de interseção das diagonais de um paralelogramo dista a e b dos lados e o ângulo agudo mede alpha. Determine a área.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo de vértices A,B,C,D cujas diagonais se cruzam em O. Sabe-se que as distâncias de O a um par de lados paralelos valem a e a um outro par valem b, e que o ângulo agudo entre dois lados vizinhos é alpha. Queremos a área em função de a, b e alpha.

Passo 2

Como O é o ponto médio das diagonais, ele é o centro de simetria do paralelogramo. Logo a distância de O a cada reta que contém um lado é metade da distância entre essas retas (que é a altura correspondente). Portanto os dois pares de lados têm alturas totais
h1 = 2a
e
h2 = 2b

Passo 3

Sejam l e m os comprimentos dos lados que formam o ângulo alpha. A altura h1 (distância entre as retas que contêm os lados de comprimento l) satisfaz
h1 = m sinalpha,
e a altura h2 (distância entre as retas que contêm os lados de comprimento m) satisfaz
h2 = l sinalpha
Como h1=2a e h2=2b, segue
msinalpha = 2a Longrightarrow m = 2asinalpha,
lsinalpha = 2b Longrightarrow l = 2bsinalpha

Passo 4

A área do paralelogramo vale
A = l,msinalpha
Substituindo l e m achados acima, vem
A = 2bsinalpha;2asinalpha;sinalpha = 4absinalpha

Resposta

boxed;A = 4absinalpha;

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