O ponto de interseção das diagonais de um paralelogramo dista a e b dos lados e o ângulo agudo mede
. Determine a área.
Passo 1
O enunciado dá um paralelogramo de vértices
cujas diagonais se cruzam em
. Sabe-se que as distâncias de
a um par de lados paralelos valem
e a um outro par valem
, e que o ângulo agudo entre dois lados vizinhos é
. Queremos a área em função de
,
e
.
Passo 2
Como
é o ponto médio das diagonais, ele é o centro de simetria do paralelogramo. Logo a distância de
a cada reta que contém um lado é metade da distância entre essas retas (que é a altura correspondente). Portanto os dois pares de lados têm alturas totais
e
Passo 3
Sejam
e
os comprimentos dos lados que formam o ângulo
. A altura
(distância entre as retas que contêm os lados de comprimento
) satisfaz
e a altura
(distância entre as retas que contêm os lados de comprimento
) satisfaz
Como
e
, segue
Passo 4
A área do paralelogramo vale
Substituindo
e
achados acima, vem