Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Para todo inteiro
.
Para todo inteiro
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para todo inteiro
,
Como
com
, basta provar as congruências
pois então, pelo teorema chinês dos resíduos, segue
.
Passo 2
Verificação módulo 2. Os únicos resíduos de
em
são:
- Se
, então . - Se
, então .
Logo,
Passo 3
Verificação módulo 3. Os resíduos possíveis de
são
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Logo,
Passo 4
Como
vale simultaneamente módulo 2 e módulo 3, e
e
são coprimos, concluímos pelo teorema chinês dos resíduos que
Resposta
Para todo inteiro
, vale
.