Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Para todo inteiro a, a^3 equiv a(bmod 6).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para todo inteiro a,
a^3 equiv a pmod6
Como 6 = 2 cdot 3 com gcd(2,3)=1, basta provar as congruências
a^3 equiv a pmod2 e a^3 equiv a pmod3,
pois então, pelo teorema chinês dos resíduos, segue a^3equiv apmod6.

Passo 2

Verificação módulo 2. Os únicos resíduos de a em 0,1 são:
  • Se aequiv 0pmod2, então a^3equiv 0^3 = 0 equiv apmod2.
  • Se aequiv 1pmod2, então a^3equiv 1^3 = 1 equiv apmod2.
    Logo,
a^3equiv a pmod2

Passo 3

Verificação módulo 3. Os resíduos possíveis de a são 0,1,2:
  • Se aequiv 0pmod3, então a^3equiv 0^3 = 0 equiv apmod3.
  • Se aequiv 1pmod3, então a^3equiv 1^3 = 1 equiv apmod3.
  • Se aequiv 2pmod3, então a^3equiv 2^3 = 8equiv 8-6 = 2 equiv apmod3.
    Logo,
a^3equiv a pmod3

Passo 4

Como a^3equiv a vale simultaneamente módulo 2 e módulo 3, e 2 e 3 são coprimos, concluímos pelo teorema chinês dos resíduos que
a^3 equiv a pmod6

Resposta

Para todo inteiro a, vale ,a^3equiv apmod6.

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