Seja n um inteiro positivo em cuja decomposição canônica figuram r fatores primos ímpares distintos. Prove que 2^r mid varphi(n).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se n é um inteiro positivo cuja decomposição canônica contém r fatores primos ímpares distintos, então
2^rmid varphi(n)
Aqui vamos usar que a função totiente de Euler varphi é multiplicativa e que, para todo primo p e todo e>=1,
varphil(p^er)=p^,e-1,(p-1)

Passo 2

Escrevendo a decomposição canônica de n em fatores primos:
n=2^k,underbracep1^e1,p2^e2cdots pr^er(r) primos ímpares distintos, í
onde k>=0, cada pi é primo ímpar e cada ei>=1.

Passo 3

Pela multiplicatividade de varphi, temos
varphi(n) =varphil(2^kr),prodi=1^rvarphil(pi^eir)
E pelas fórmulas de totiente em potências de primo,
varphil(2^kr)= 1,&k=0, 2^,k-1,&k>=1, varphil(pi^eir) =pi^,ei-1,l(pi-1r)

Passo 4

Cada primo ímpar pi satisfaz pi-1 par, isto é, pi-1=2,mi para algum inteiro mi. Logo
varphil(pi^eir) =pi^,ei-1,(2,mi) =2;l(pi^,ei-1,mir),
e cada fator varphi(pi^ei) contribui com, pelo menos, um fator 2. Como há r desses primos, o produto
prodi=1^rvarphil(pi^eir)
é múltiplo de 2^r. A parte varphi(2^k), seja 1 ou 2^,k-1, não anula esses fatores de 2.

Passo 5

Portanto
varphi(n) =varphil(2^kr),prodi=1^rvarphil(pi^eir)
é múltiplo de 2^r, isto é,
2^rmid varphi(n)

Resposta

Como cada primo ímpar na decomposição de n aporta um fator 2 em varphi(n), concluímos que
2^rmid varphi(n)

Exercícios de Livros Relacionados