Seja n um inteiro positivo em cuja decomposição canônica figuram
fatores primos ímpares distintos. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um inteiro positivo cuja decomposição canônica contém
fatores primos ímpares distintos, então
Aqui vamos usar que a função totiente de Euler
é multiplicativa e que, para todo primo
e todo
,
Passo 2
Escrevendo a decomposição canônica de
em fatores primos:
onde
k>=0 , cada
pi é primo ímpar e cada
ei>=1 .
Passo 3
Pela multiplicatividade de
varphi , temos
E pelas fórmulas de totiente em potências de primo,
Passo 4
Cada primo ímpar
pi satisfaz
pi-1 par, isto é,
pi-1=2,mi para algum inteiro
mi . Logo
e cada fator
varphi(pi^ei) contribui com, pelo menos, um fator
2 . Como há
r desses primos, o produto
é múltiplo de
2^r . A parte
varphi(2^k) , seja
1 ou
2^,k-1 , não anula esses fatores de
2 .
Passo 5
Portanto
é múltiplo de
2^r , isto é,
Resposta
Como cada primo ímpar na decomposição de
n aporta um fator
2 em
varphi(n) , concluímos que