Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos. ou mas .
Passo 1
O conjunto em questão é
Estamos em Topologia de e vamos precisar dos conceitos de aberto, fechado, limitado, compacto, interior e fronteira.
Passo 2
Geometricamente é o eixo unido ao eixo , com exceção da origem. Ou seja, é a reta e a reta , mas sem o ponto .
Passo 3
Para ver se é fechado, observamos que a reta e a reta são fechadas em . Porém, removemos o ponto . Como é ponto de aderência de (é limite de sequências de pontos em ), mas não pertence a , conclui-se que não contém todos os seus pontos de aderência. Logo, não é fechado. A sua clausura é
Passo 4
Para ver se é aberto, basta notar que todo entorno de qualquer ponto em intersecta pontos fora de (por exemplo, um disco em torno de contém pontos de ). Assim, não existe nenhum ponto interior, e não é aberto. O seu interior é
Passo 5
O conjunto M se estende indefinidamente ao longo dos eixos, logo não é limitado. Como não é fechado nem limitado, M também não é compacto (em R^2, compacto iff fechado e limitado).
Passo 6
A fronteira de é definida por
e, como já vimos e , temos
Resposta
O conjunto é
– não fechado,
– não aberto,
– não limitado,
– não compacto.
Além disso
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 4.4.4 - Ex. 9.j