Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid x=0 ou y=0 mas x^2+y^2 neq 0.

Passo 1

O conjunto em questão é
M=(x,y)inR^2mid x=0 ou y=0, mas x^2+y^2neq0
Estamos em Topologia de R^2 e vamos precisar dos conceitos de aberto, fechado, limitado, compacto, interior e fronteira.

Passo 2

Geometricamente M é o eixo x unido ao eixo y, com exceção da origem. Ou seja, é a reta x=0 e a reta y=0, mas sem o ponto (0,0).

Passo 3

Para ver se M é fechado, observamos que a reta x=0 e a reta y=0 são fechadas em R^2. Porém, removemos o ponto (0,0). Como (0,0) é ponto de aderência de M (é limite de sequências de pontos em M), mas não pertence a M, conclui-se que M não contém todos os seus pontos de aderência. Logo, M não é fechado. A sua clausura é
M=(x,y)mid x=0 ou y=0

Passo 4

Para ver se é aberto, basta notar que todo entorno de qualquer ponto em intersecta pontos fora de (por exemplo, um disco em torno de contém pontos de ). Assim, não existe nenhum ponto interior, e não é aberto. O seu interior é

Passo 5

O conjunto M se estende indefinidamente ao longo dos eixos, logo não é limitado. Como não é fechado nem limitado, M também não é compacto (em R^2, compacto iff fechado e limitado).

Passo 6

A fronteira de é definida por
e, como já vimos e , temos

Resposta

O conjunto é
– não fechado,
– não aberto,
– não limitado,
– não compacto.
Além disso

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