Mostre que para todo inteiro n, n neq-2, n neq-1 e n neq 0, a representação decimal de
1n+1n+1+1n+2
apresenta pré-período.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n com n neq -2, n neq -1 e n neq 0, a soma
1n + 1n+1 + 1n+2
é um número racional cuja representação decimal não é puramente periódica, ou seja, apresenta pré-período. O conteúdo usado será noções de fração irredutível e caracterização de decimais periódicos (números racionais cujo denominador, em forma irredutível, é coprimo a 10 têm período puro; caso contrário, têm pré-período).

Passo 2

Vamos somar as frações. O denominador comum é n(n+1)(n+2). Somando numeradores:
(n+1)(n+2)+n(n+2)+n(n+1) = n^2+3n+2 + n^2+2n + n^2+n = 3n^2 + 6n + 2
Logo,
1n+1n+1+1n+2 =3n^2+6n+2n(n+1)(n+2)

Passo 3

Observe que n(n+1)(n+2) é produto de três inteiros consecutivos e, portanto, é sempre par (um dos três é par). Logo o denominador tem pelo menos um fator 2.

Passo 4

Analisamos a possível cancelação do fator 2 entre numerador e denominador:
  • Se n é ímpar, então 3n^2 + 6n + 2 equiv n^2 equiv 1 pmod 2, ou seja, o numerador é ímpar e não cancela o fator 2 do denominador.
  • Se n é par, escreva n = 2k. Então
3n^2 + 6n + 2 = 3,(2k)^2 + 6,(2k) + 2 = 12k^2 + 12k + 2 = 2(6k^2 + 6k + 1),
e 6k^2 + 6k + 1 é ímpar. Assim o numerador tem exatamente um fator 2, enquanto o denominador n(n+1)(n+2) tem pelo menos dois fatores 2. Após remover esse único fator 2 comum, permanece no denominador pelo menos um fator 2.

Passo 5

Concluímos que, em forma irredutível, a fração
3n^2+6n+2n(n+1)(n+2)
tem denominador divisível por 2. Como um número racional tem representação decimal puramente periódica se, e somente se, seu denominador (irredutível) for coprimo a 10, segue que aqui o denominador não é coprimo a 10. Portanto, a representação decimal desta fração apresenta pré-período.

Resposta

Para todo inteiro nneq -2, -1, 0, a fração
1n+1n+1+1n+2
é irredutível a um denominador par, logo sua representação decimal possui pré-período.

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