Mostre que para todo inteiro
e
, a representação decimal de
apresenta pré-período.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
com
,
e
, a soma
é um número racional cuja representação decimal não é puramente periódica, ou seja, apresenta pré-período. O conteúdo usado será noções de fração irredutível e caracterização de decimais periódicos (números racionais cujo denominador, em forma irredutível, é coprimo a
têm período puro; caso contrário, têm pré-período).
Passo 2
Vamos somar as frações. O denominador comum é
. Somando numeradores:
Logo,
Passo 3
Observe que
é produto de três inteiros consecutivos e, portanto, é sempre par (um dos três é par). Logo o denominador tem pelo menos um fator
.
Passo 4
Analisamos a possível cancelação do fator
entre numerador e denominador:
- Se
é ímpar, então , ou seja, o numerador é ímpar e não cancela o fator do denominador. - Se
é par, escreva . Então
e
é ímpar. Assim o numerador tem exatamente um fator
, enquanto o denominador
tem pelo menos dois fatores
. Após remover esse único fator
comum, permanece no denominador pelo menos um fator
.
Passo 5
Concluímos que, em forma irredutível, a fração
tem denominador divisível por
. Como um número racional tem representação decimal puramente periódica se, e somente se, seu denominador (irredutível) for coprimo a
, segue que aqui o denominador não é coprimo a
. Portanto, a representação decimal desta fração apresenta pré-período.
Resposta
Para todo inteiro
, a fração
é irredutível a um denominador par, logo sua representação decimal possui pré-período.