Se
é irracional, prove que coso também é irracional.
Resolução: Se
fosse racional, o mesmo aconteceria
e
- 1. Como porém
, caímos num absurdo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é irracional, então necessariamente
também é irracional. O conteúdo central é a identidade trigonométrica
e vamos usar um argumento por absurdo, supondo o oposto e chegando a uma contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então podemos escrever
com
.
Passo 3
Se
, então
é também um número racional, pois o quadrado de um racional é racional.
Passo 4
A partir daí, multiplicando por 2 e subtraindo 1, obtemos
Como
, segue que
e, consequentemente,
.
Passo 5
Pelo reconhecimento da identidade, temos
Logo, sob a hipótese de que
é racional, chegamos a
racional.
Passo 6
Mas isso contradiz a hipótese inicial de que
é irracional. Portanto a suposição de que
fosse racional é falsa.
Resposta
Logo,
é irracional.