Se cos 2 theta é irracional, prove que coso também é irracional.
Resolução: Se cos theta fosse racional, o mesmo aconteceria com cos ^2 theta e 2 cos ^2 theta - 1. Como porém cos 2 theta=2 cos ^2 theta-1, caímos num absurdo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se cos 2theta é irracional, então necessariamente costheta também é irracional. O conteúdo central é a identidade trigonométrica
cos 2theta = 2cos^2theta - 1,
e vamos usar um argumento por absurdo, supondo o oposto e chegando a uma contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que costheta seja racional. Então podemos escrever
costheta = r,
com rinQ.

Passo 3

Se costheta = rinQ, então
cos^2theta = r^2
é também um número racional, pois o quadrado de um racional é racional.

Passo 4

A partir daí, multiplicando por 2 e subtraindo 1, obtemos
2cos^2theta - 1 = 2r^2 - 1
Como r^2inQ, segue que 2r^2inQ e, consequentemente, 2r^2-1inQ.

Passo 5

Pelo reconhecimento da identidade, temos
cos 2theta = 2cos^2theta - 1
Logo, sob a hipótese de que costheta é racional, chegamos a cos 2theta racional.

Passo 6

Mas isso contradiz a hipótese inicial de que cos 2theta é irracional. Portanto a suposição de que costheta fosse racional é falsa.

Resposta

Logo, costheta é irracional.

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