Verifique as seguintes transformadas de Laplace:
Lk0(a t) não existe.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência da transformada de Laplace
Lk0(a t)(s);=;integral0^inftye^-s t,k0(a t),dt
Para que essa integral imprópria exista, é necessário que k0(a t) seja contínua por partes em [0,A] para todo A>0 e de “ordem exponencial” quando ttoinfty.

Passo 2

Examinando o comportamento de k0(a t) perto de t=0, usa-se a expansão assintótica conhecida
k0(a t);sim;-ln(a t)quando tto0^+
Isso mostra que k0(a t)to+infty à medida que tto0, isto é, há uma singularidade logarítmica não removível em t=0. Logo, k0(a t) não é contínua por partes na vizinhança de t=0.

Passo 3

Mesmo que para ttoinfty a função decaia exponencialmente (o que garantiria convergência no infinito), a singularidade em t=0 impede que o integral de Laplace seja definido como um valor finito. Portanto

Resposta

Lk0(a t) não existe.

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