Ex. 8.29 - Mostre usando o teorema do confronto que se an 0 então:
lim n infty sen(an)=0
Conclua então que se an 0 então lim n infty cos (an)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o teorema do confronto, que se ,anto0 então
limntoinftysinl(anr)=0
e daí concluir que
limntoinftycosl(anr)=1
O conteúdo principal é o teorema do confronto e identidades trigonométricas simples.

Passo 2

Usamos a desigualdade clássica válida para todo xinR:
-,l|xr|;<=;sin(x);<=;l|xr|
Substituindo x=an obtemos
-,l|anr|;<=;sinl(anr);<=;l|anr|

Passo 3

Como ,anto0, segue que ,lvert anrvertto0. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem) temos
sinl(anr)to0

Passo 4

Para o cosseno, usamos a identidade
cosl(anr);=;1 ;-;2,sin^2!l(tfracan2r)
Como tfracan2to0, pela parte já provada sinl(tfracan2r)to0 e, portanto,
sin^2!l(tfracan2r);to;0
implica
cosl(anr);to;1

Resposta

limntoinftysinl(anr)=0
limntoinftycosl(anr)=1

Exercícios de Livros Relacionados