Ex. 8.15 - Em cada caso abaixo, determine m in N^* de modo que
-n^3<-10^6, para todo n >= m.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um número natural m tal que, sempre que n>= m, tenhamos
-n^3 < -10^6
O conteúdo aqui é resolução de inequações envolvendo potência e uso da propriedade de inversão de desigualdade ao multiplicar por número negativo.

Passo 2

Multiplicamos a desigualdade -n^3 < -10^6 por -1. Como estamos multiplicando por um número negativo, a desigualdade inverte de sinal, ficando
n^3 > 10^6

Passo 3

Devemos achar o menor inteiro m tal que, para todo n>= m,
n^3 > 10^6
Note que 10^6 = 100^3. Assim a condição n^3>100^3 equivale a
n > 100
Como n é inteiro, a menor escolha é
n>= 101

Passo 4

Portanto, a partir de n=101 a desigualdade original -n^3 < -10^6 vale para todo n>= m. Logo escolhemos
m = 101

Resposta

m = 101

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