Se n é um múltiplo de 4, qual o resto da divisão de
1^n+2^n+ldots+8^n+9^n
por 10?

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
S = 1^n + 2^n + cdots + 9^n
por 10, sabendo que n é múltiplo de 4.
Conteúdo: precisamos entender a periodicidade do último dígito de potências de um número, que decorre do fato de que varphi(10)=4 (Teorema de Euler).

Passo 2

Como n é múltiplo de 4, escrevemos n=4m. Logo
k^n = k^4m = (k^4)^m
Em módulo 10, temos os casos:
  • Se gcd(k,10)=1 (ou seja, k=1,3,7,9), então k^4equiv1pmod10 e k^nequiv1^m=1.
  • Se k=5, então 5^nequiv5pmod10.
  • Se k é par diferente de 5 (ou seja, k=2,4,6,8), calcula-se k^4equiv6pmod10 e k^nequiv6^mequiv6.

Passo 3

Portanto, em módulo 10 temos:
  • Para k=1,3,7,9: k^nequiv1, totalizando 4times1=4.
  • Para k=2,4,6,8: k^nequiv6, totalizando 4times6=24.
  • Para k=5: 5^nequiv5.
    Somando:
4 + 24 + 5 = 33

Passo 4

O resto da divisão de S por 10 é o resto de 33 por 10, ou seja,
33 bmod 10 = 3

Resposta

3

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