12.3.1 Você construiu um conjunto de funções ortogonais pelo processo de Gram-Schmidt (Seção 10.3), considerando u_{n}(x)=x^{n}, n=0,1,2, \ldots, em ordem crescente com w(x)=1 e um intervalo -1 \leq x \leq 1. Prove que a enésima dessas funções construídas é proporcional a P_{n}(x).
Sugestão: Use indução matemática.

Passo 1

O enunciado diz que aplicamos o processo de Gram–Schmidt às funções
u_n(x)=x^n,\quad n=0,1,2,\dots
no intervalo [-1,1] com peso w(x)=1, obtendo assim uma sequência ortogonal \{f_n(x)\}. Queremos mostrar que esse f_n(x) é, salvo constante multiplicativa, exatamente o polinômio de Legendre P_n(x). Vamos usar indução sobre n.

Passo 2

Para n=0 temos
f_0(x)=u_0(x)=1,
e o polinômio de Legendre de grau zero é
P_0(x)=1.
Logo f_0(x)=P_0(x) e o resultado vale para n=0.

Passo 3

Suponha que, para todo k<n, já temos
f_k(x)=A_k\,P_k(x)
para algum A_k\neq0. No passo n do Gram–Schmidt, definimos
g_n(x)=x^n-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\langle x^n,f_k\rangle}{\langle f_k,f_k\rangle}\,f_k(x),
e então normalizamos (ou não) para obter f_n(x)=g_n(x). Por construção g_n é um polinômio de grau n ortogonal a todo monômio de grau menor que n.

Passo 4

Sabemos que os polinômios de Legendre P_n(x) satisfazem a ortogonalidade
\int_{-1}^{1}P_n(x)\,x^k\,dx=0 \quad\text{para todo }k<n,
e têm grau exatamente n. Portanto, a condição “polinômio de grau n ortogonal a todos os x^k, k<n” caracteriza P_n unicamente, salvo fator constante. Como g_n também satisfaz essa ortogonalidade e tem grau n, deve existir C_n\neq0 tal que
g_n(x)=C_n\,P_n(x).
Então também f_n(x)=g_n(x) é proporcional a P_n(x).

Resposta

A cada passo n, o polinômio f_n(x) obtido por Gram–Schmidt a partir de x^n é proporcional ao polinômio de Legendre P_n(x).

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