12.3.1 Você construiu um conjunto de funções ortogonais pelo processo de Gram-Schmidt (Seção 10.3), considerando
, em ordem crescente com
e um intervalo
. Prove que a enésima dessas funções construídas é proporcional a
.
Sugestão: Use indução matemática.
Sugestão: Use indução matemática.
Passo 1
O enunciado diz que aplicamos o processo de Gram–Schmidt às funções
no intervalo
com peso
, obtendo assim uma sequência ortogonal
. Queremos mostrar que esse
é, salvo constante multiplicativa, exatamente o polinômio de Legendre
. Vamos usar indução sobre
.
Passo 2
Para
temos
e o polinômio de Legendre de grau zero é
Logo
e o resultado vale para
.
Passo 3
Suponha que, para todo
, já temos
para algum
. No passo
do Gram–Schmidt, definimos
e então normalizamos (ou não) para obter
. Por construção
é um polinômio de grau
ortogonal a todo monômio de grau menor que
.
Passo 4
Sabemos que os polinômios de Legendre
satisfazem a ortogonalidade
e têm grau exatamente
. Portanto, a condição “polinômio de grau
ortogonal a todos os
,
” caracteriza
unicamente, salvo fator constante. Como
também satisfaz essa ortogonalidade e tem grau
, deve existir
tal que
Então também
é proporcional a
.
Resposta
A cada passo
, o polinômio
obtido por Gram–Schmidt a partir de
é proporcional ao polinômio de Legendre
.