(Novo México-91) Suponha que as diagonais AC e BD de um trapézio isósceles ABCD ( AB || C D e \angle B A D=\angle A B C ) concorrem em P. Se as áreas do \triangle \mathrm{PAB} e \triangle \mathrm{PCD} são 36 \mathrm{~cm}^{2} e 25 \mathrm{~cm}^{2}, respectivamente, qual é a área do trapézio A B C D.
Passo 1
O enunciado descreve um trapézio isósceles ABCD com AB\parallel CD (e \angle BAD=\angle ABC), cujas diagonais AC e BD se cruzam em P. Sabendo que \mathrm{área}(\triangle PAB)=36 e \mathrm{área}(\triangle PCD)=25, queremos a área do trapézio ABCD.
Conteúdo principal: em um trapézio as bases paralelas são proporcionais aos segmentos em que as diagonais se cortam, e usamos razão de áreas de triângulos com mesmo ^angulo entre dois lados.
Passo 2
Em geral, para dois triângulos que compartilham o vértice P e têm as arestas formadoras do ângulo iguais em magnitude de seno, vale
Para achar a altura h do trapézio, posicione AB e CD horizontalmente, com AB=6 e CD=5, separados por uma distância h. Por simetria do trapézio isósceles, toma-se A=(-3,0), B=(3,0), D=(-2{,}5,-h), C=(2{,}5,-h).
O ponto de interseção das diagonais aparece em
P=(0,-\tfrac{6}{11}h).
Então
\mathrm{área}(\triangle PAB) =\tfrac12\cdot AB\cdot\bigl|\text{distância de }P\text{ a }AB\bigr| =\tfrac12\cdot6\cdot\frac{6h}{11} =\frac{18h}{11}.
Como isso vale 36, temos
\frac{18h}{11}=36 \quad\Longrightarrow\quad h=22.
Passo 4
Agora a área do trapézio é
\mathrm{área}(ABCD) =\frac{AB+CD}{2}\;\times h =\frac{6+5}{2}\times22 =\tfrac{11}{2}\times22 =121.á
Resposta
A área do trapézio ABCD é 121,cm^2.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 93