(Novo México-91) Suponha que as diagonais AC e BD de um trapézio isósceles ABCD ( AB || C D e \angle B A D=\angle A B C ) concorrem em P. Se as áreas do \triangle \mathrm{PAB} e \triangle \mathrm{PCD} são 36 \mathrm{~cm}^{2} e 25 \mathrm{~cm}^{2}, respectivamente, qual é a área do trapézio A B C D.

Passo 1

O enunciado descreve um trapézio isósceles ABCD com AB\parallel CD (e \angle BAD=\angle ABC), cujas diagonais AC e BD se cruzam em P. Sabendo que
\mathrm{área}(\triangle PAB)=36á e \mathrm{área}(\triangle PCD)=25á, queremos a área do trapézio ABCD.
Conteúdo principal: em um trapézio as bases paralelas são proporcionais aos segmentos em que as diagonais se cortam, e usamos razão de áreas de triângulos com mesmo ^angulo entre dois lados.

Passo 2

Em geral, para dois triângulos que compartilham o vértice P e têm as arestas formadoras do ângulo iguais em magnitude de seno, vale
\frac{\mathrm{área}(\triangle PAB)}{\mathrm{área}(\triangle PCD)} =\frac{\tfrac12\,PA\cdot PB\sin\theta}{\tfrac12\,PC\cdot PD\sin\theta} =\frac{PA\cdot PB}{PC\cdot PD}.áá
No trapézio com AB\parallel CD, mostra-se (por coordenadas ou baricentro) que
\frac{PA}{PC}=\frac{BP}{PD}=\frac{AB}{CD}.
Logo
\frac{36}{25} =\frac{PA\cdot PB}{PC\cdot PD} =\Bigl(\frac{AB}{CD}\Bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{CD}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}.

Passo 3

Para achar a altura h do trapézio, posicione AB e CD horizontalmente, com AB=6 e CD=5, separados por uma distância h. Por simetria do trapézio isósceles, toma-se
A=(-3,0), B=(3,0), D=(-2{,}5,-h), C=(2{,}5,-h).
O ponto de interseção das diagonais aparece em
P=(0,-\tfrac{6}{11}h).
Então
\mathrm{área}(\triangle PAB) =\tfrac12\cdot AB\cdot\bigl|\text{distância de }P\text{ a }AB\bigr| =\tfrac12\cdot6\cdot\frac{6h}{11} =\frac{18h}{11}.áâ
Como isso vale 36, temos
\frac{18h}{11}=36 \quad\Longrightarrow\quad h=22.

Passo 4

Agora a área do trapézio é
\mathrm{área}(ABCD) =\frac{AB+CD}{2}\;\times h =\frac{6+5}{2}\times22 =\tfrac{11}{2}\times22 =121.á

Resposta

A área do trapézio ABCD é 121,cm ^2.

Exercícios de Livros Relacionados