(Cabri-99) Seja A B C D um retângulo tal que A B=2 e B C=1. Seja M o ponto médio de C D. Achar a distância de M à reta A C.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo ABCD com AB=2 e BC=1, e define M como o ponto médio de CD. Queremos a distância de M à reta AC. O conteúdo é geometria analítica e usamos a fórmula de distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas colocando
A=(0,0), B=(2,0) (já que AB=2 ao longo de x) e D=(0,1) (pois AD=BC=1 ao longo de y). Então
C=(2,1),\quad D=(0,1).

Passo 3

O ponto M é o ponto médio de C=(2,1) e D=(0,1). Logo,
M=\bigl(\tfrac{2+0}{2},\,\tfrac{1+1}{2}\bigr)=(1,1).

Passo 4

A reta AC passa por A=(0,0) e C=(2,1). Seu coeficiente angular é
\frac{1-0}{2-0}=\tfrac12,
então em forma explícita temos y=\tfrac12x. Para usar a fórmula de distância, escrevemos em forma geral:
x-2y=0.

Passo 5

A distância de M=(1,1) à reta x-2y=0 é dada por
d = \frac{\bigl|1\cdot x_M +(-2)\cdot y_M +0\bigr|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{\bigl|1-2\bigr|}{\sqrt{5}} = \frac1{\sqrt{5}}.

Resposta

\displaystyle \frac1{\sqrt{5}}

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