O número 123.4y6 é divisível por 7. Determine o valor absoluto do algarismo y.

Passo 1

O enunciado nos dá o número inteiro de seis algarismos
1234y6
e pede para determinar lvert yrvert sabendo que esse número é divisível por 7. O conteúdo principal aqui é o uso de congruências módulo 7 para achar o dígito y.

Passo 2

Escrevemos o número em função de y. Como
1234y6 = 1cdot10^5 +2cdot10^4 +3cdot10^3 +4cdot10^2 + ycdot10 +6,
temos
1234y6 = 123406 + 10y

Passo 3

Para impor a divisibilidade por 7, exigimos
123406 + 10y equiv 0 pmod7
Primeiro calculamos 123406bmod7. Como
123403 = 7 times 17629,
segue que
123406 equiv 123406 -123403 = 3 pmod7

Passo 4

A congruência fica
3 + 10y equiv 0 pmod7 Longrightarrow 10y equiv -3 equiv 4 pmod7

Passo 5

Reduzimos 10equiv3pmod7, então
3y equiv 4 pmod7
O inverso de 3 módulo 7 é 5 (porque 3cdot5=15equiv1pmod7), logo
y equiv 5cdot4 =20 equiv 6 pmod7
Como y é um algarismo entre 0 e 9, concluímos y=6.

Passo 6

Portanto o valor absoluto do dígito y é
lvert yrvert = lvert 6rvert = 6

Resposta

;6

Exercícios de Livros Relacionados