No número 3 y 5 z 4 w, determine y+z+w, de modo que se obtenha um número, ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9 .

Passo 1

O enunciado dá um inteiro de seis dígitos escrito como
3y5z4w
onde o ponto “.” é apenas separador de milhares, ou seja o número é
N = 3,y,5,z,4,w
Queremos escolher y,z,win0,1,dots,9 de modo que N seja divisível por 5 e por 9, e então determinar o valor de y+z+w.

Passo 2

Para N ser divisível por 5, a regra é que o último dígito seja 0 ou 5. Logo
win0,5

Passo 3

Para N ser divisível por 9, a soma de todos os seus dígitos deve ser múltiplo de 9. A soma dos dígitos é
3 + y + 5 + z + 4 + w = 12 + (y+z+w)
Portanto precisamos de
12 + (y+z+w)equiv 0pmod9 Longrightarrow y+z+wequiv -12equiv 6pmod9
Os valores não negativos de y+z+w menores que 3cdot9=27 que satisfazem y+z+wequiv6pmod9 são
y+z+win6,15,24
Como y+z+w<=9+9+9=27, o 24 seria possível em princípio, mas exige y+z=24-w, o que não cabe em dois dígitos se w>=0. Logo só restam
y+z+win6,15

Passo 4

Verificando compatibilidade com win0,5:
  • Se w=0, então y+z=6 ou y+z=15, ambos viáveis em dígitos.
  • Se w=5, então y+z+5=6 ou y+z+5=15, ou seja y+z=1 ou y+z=10, também possíveis.
Em todos os casos os únicos valores possíveis para a soma final são
y+z+w=6ou y+z+w=15

Resposta

y+z+w=6 ou y+z+w=15.

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