Que número deve ser acrescentado ao conjunto de valores 2,6,5 e 7 a fim de que a variância aumente de 3,3 unidades?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de quatro valores 2,6,5,7 e pede para acrescentar um valor x de modo que a variância populacional aumente em 3,3 unidades. Vamos usar a fórmula da variância populacional antes e depois de incluir x.

Passo 2

Calculamos primeiro a média e a variância iniciais. A média é
barX=2+6+5+74=204=5
A variância populacional inicial é
sigma^2inicial =14l[(2-5)^2+(6-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2r] =9+1+0+44=144=3,5

Passo 3

Queremos que a variância nova seja
sigma^2nova=sigma^2inicial+3,3=3,5+3,3=6,8
Após acrescentar x, teremos cinco valores e a nova média
m=2+6+5+7+x5=20+x5
A variância populacional com n=5 é
sigma^2nova =15sumi=1^5l(Xi-mr)^2 =6,8

Passo 4

Usamos a identidade
sumi=1^5 Xi^2 =5,sigma^2nova+5,m^2
Como
sum Xi^2=2^2+6^2+5^2+7^2+x^2=114+x^2,
temos
114+x^2 =5cdot6,8+5l(20+x5r)^2 =34+(20+x)^25
Multiplicando por 5:
570+5x^2 =170+(20+x)^2 =170+x^2+40x+400 =570+x^2+40x

Passo 5

Reescrevendo e simplificando:
570+5x^2=570+x^2+40x Longrightarrow 5x^2 -x^2 -40x=0 Longrightarrow 4x^2-40x=0 Longrightarrow 4x(x-10)=0
Logo as soluções são
x=0 ou x=10

Resposta

As possíveis escolhas para x são 0 ou 10.

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