(UF-RS) O número de divisores [positivos] de 7! é:
a) 36
b) 45
c) 60
d) 72
e) 96

Passo 1

O enunciado pede o número de divisores positivos de 7!. O conteúdo envolve fatoração em primos de um fatorial e a aplicação da fórmula que diz que, se
n = prodi=1^k pi^ei,
então o número de divisores de n é
prodi=1^k (ei+1)

Passo 2

Vamos determinar os expoentes de cada primo em 7! usando a fórmula de Legendre: para um primo p,
nup(7!) = sumj=1^infty lfloor tfrac7p^jrfloor
  • Para p=2:
    lfloor7/2rfloor=3,;lfloor7/4rfloor=1,;lfloor7/8rfloor=0. Logo nu2(7!)=3+1+0=4.
  • Para p=3:
    lfloor7/3rfloor=2,;lfloor7/9rfloor=0. Logo nu3(7!)=2.
  • Para p=5:
    lfloor7/5rfloor=1. Logo nu5(7!)=1.
  • Para p=7:
    lfloor7/7rfloor=1. Logo nu7(7!)=1.
Portanto
7! = 2^4 cdot 3^2 cdot 5^1 cdot 7^1

Passo 3

Aplicando a fórmula do número de divisores:
tau(7!)=(4+1),(2+1),(1+1),(1+1)=5cdot3cdot2cdot2=60

Resposta

c) 60

Exercícios de Livros Relacionados