Um número é da forma 2^x times 7. Multiplicando-o por 14, o número de divisores aumenta de 7. Determine N.

Passo 1

O enunciado diz que um número N é da forma
N = 2^x times 7
e que, ao multiplicá-lo por 14, o número de divisores aumenta em 7.
O conteúdo aqui é a função divisor, que para
n = prod pi^ai
é
d(n) = prod (ai + 1)
Vamos usá-la para expressar d(N) e d(14N) e impor d(14N) = d(N) + 7.

Passo 2

Como
N = 2^x times 7^1,
temos
d(N) = (x + 1),(1 + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2

Passo 3

Agora
14N = 2 times 7 times 2^x times 7 = 2^x+1 times 7^2,
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d(14N) = l((x+1)+1r),(2+1) = (x+2),3 = 3x + 6

Passo 4

Impondo o aumento de 7 divisores:
d(14N) - d(N) = 7 Longrightarrow (3x + 6) - (2x + 2) = 7 Longrightarrow x + 4 = 7 Longrightarrow x = 3
Assim,
N = 2^3 times 7 = 8 times 7 = 56

Resposta

56

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