O tronco de um carvalho plantado no século XVII, na França, possuía 2,5 m de diâmetro em 1805 e 5,5 m de diâmetro em 2003. Suponha que o diâmetro do tronco do carvalho tenha crescido a uma taxa constante.
a) Determine aproximadamente o ano em que o carvalho foi plantado.
b) Determine uma equação que forneça o diâmetro do tronco em relação à idade do carvalho.
c) Determine em que ano o diâmetro do carvalho atingirá 6 m .

Passo 1

O enunciado dá dois pontos de medição do diâmetro D em função do ano y: em y=1805, D=2,5 m, e em y=2003, D=5,5 m. Como o crescimento é constante, o modelo é linear
D(y)=m,y+b
Vamos achar a inclinação m e o coeficiente b, depois determinar o ano em que D=0, escrever a equação em função da idade t, e finalmente achar quando D=6 m.

Passo 2

Compute-se a taxa de crescimento m pela diferença dos diâmetros sobre a diferença dos anos:
m=5,5-2,52003-1805 =3198 =166(metros por ano)
Para achar b, use D(1805)=2,5:
b=2,5-mcdot1805 =2,5-180566

Passo 3

O carvalho foi plantado no ano em que D=0. Da equação 0=m,y+b temos
y=-bm =1805-2,5m =1805-2,5cdot66 =1805-165 =1640
Logo, o plantio ocorreu aproximadamente em 1640.

Passo 4

Definindo a idade t=y-1640 (em anos desde o plantio), a constante b some e fica
D(t)=m,t =166,t

Passo 5

Para D=6 m, resolvemos
6=166,t Longrightarrow t=6cdot66=396
O ano correspondente é
y=1640+396=2036

Resposta

(a) 1640.
(b) Se t é a idade em anos, D(t)=166,t.
(c) No ano de 2036 o diâmetro atingirá 6 m.

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