Que número minimo de participantes deve ter a Olimpíada Brasileira de Matemática para que se tenha certeza de que existem dois participantes naturais do mesmo estado fazendo aniversário no mesmo dia?
Passo 1
O enunciado pergunta qual o número mínimo de participantes que garante, por princípio da casa dos pombos, que existam dois participantes do mesmo estado fazendo aniversário no mesmo dia. O conteúdo é aplicação do princípio da caixa (ou casa) dos pombos, considerando como caixas os pares (estado, dia de aniversário) e como pombos os participantes.
Passo 2
Primeiro, identifique o número de estados. A Olimpíada Brasileira de Matemática inclui participantes dos 26 estados da federação e do Distrito Federal, totalizando
unidades federativas.
Passo 3
Em seguida, identifique o número de possíveis datas de aniversário. Desconsiderando anos bissextos, há
diferentes dias no ano.
Passo 4
Cada par (estado, data) corresponde a uma “caixa” onde pode entrar no máximo um participante sem que haja repetição. Logo o número de caixas é
Passo 5
Pelo princípio da casa dos pombos, se tivermos até
participantes, é possível distribuí-los de modo que não haja dois na mesma caixa. Para garantir que haja repetição numa caixa, precisamos de pelo menos uma pessoa a mais que o número de caixas, isto é,
Passo 6
Portanto, o número mínimo de participantes para ter certeza de que existem dois do mesmo estado fazendo aniversário no mesmo dia é
Resposta
9856