Que número minimo de participantes deve ter a Olimpíada Brasileira de Matemática para que se tenha certeza de que existem dois participantes naturais do mesmo estado fazendo aniversário no mesmo dia?

Passo 1

O enunciado pergunta qual o número mínimo de participantes que garante, por princípio da casa dos pombos, que existam dois participantes do mesmo estado fazendo aniversário no mesmo dia. O conteúdo é aplicação do princípio da caixa (ou casa) dos pombos, considerando como caixas os pares (estado, dia de aniversário) e como pombos os participantes.

Passo 2

Primeiro, identifique o número de estados. A Olimpíada Brasileira de Matemática inclui participantes dos 26 estados da federação e do Distrito Federal, totalizando
s = 27 unidades federativas.

Passo 3

Em seguida, identifique o número de possíveis datas de aniversário. Desconsiderando anos bissextos, há
d = 365 diferentes dias no ano.

Passo 4

Cada par (estado, data) corresponde a uma “caixa” onde pode entrar no máximo um participante sem que haja repetição. Logo o número de caixas é
b = s \times d = 27 \times 365 = 9855.

Passo 5

Pelo princípio da casa dos pombos, se tivermos até 9855 participantes, é possível distribuí-los de modo que não haja dois na mesma caixa. Para garantir que haja repetição numa caixa, precisamos de pelo menos uma pessoa a mais que o número de caixas, isto é,
N = b + 1 = 9855 + 1.

Passo 6

Portanto, o número mínimo de participantes para ter certeza de que existem dois do mesmo estado fazendo aniversário no mesmo dia é
N = 9856.

Resposta

9856

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