Um número natural N é múltiplo de 83 e
tem 63 divisores. Calcule N , sabendo que N é o maior número possível que cumpre essas condições.
Passo 1
O enunciado diz que
é um número natural múltiplo de 83 e que seu quadrado tem exatamente 63 divisores. O conteúdo principal aqui é a fórmula do número de divisores de um quadrado, a saber: se
então
Vamos usar isso para achar todos os possíveis expoentes
de
, depois impor que 83 apareça na fatoração e, por fim, escolher o maior
.
Passo 2
Escrevendo
temos
Como
, podemos repartir esse produto de três fatores ímpares de várias maneiras:
- um único fator:
, - dois fatores:
ou , - três fatores:
.
Passo 3
Para cada caso traduzo de volta nos expoentes
:
- Se
, então e . - Se
, então (ou vice-versa). - Se
, então em alguma ordem.
Passo 4
Como
deve ser múltiplo de 83, algum
é 83 e seu expoente
.
- No caso 1) sobra apenas
. - Nos casos 2) e 3) haveria outros primos além de 83, e escolhemos esses primos originalmente livres: aumentando esses primos podemos tornar
arbitrariamente grande. Logo não existe “maior” nesses casos, pois podemos tomar outro primo maior que gere um produto ainda maior.
Passo 5
O único caso que produz um
máximo (e bem definido) é o de um único primo, 83, com expoente 31.