Um número natural N é múltiplo de 83 e N^2 tem 63 divisores. Calcule N , sabendo que N é o maior número possível que cumpre essas condições.

Passo 1

O enunciado diz que N é um número natural múltiplo de 83 e que seu quadrado tem exatamente 63 divisores. O conteúdo principal aqui é a fórmula do número de divisores de um quadrado, a saber: se
N=prodi=1^kpi^ai,
então
dl(N^2r)=prodi=1^k(2ai+1)
Vamos usar isso para achar todos os possíveis expoentes ai de N, depois impor que 83 apareça na fatoração e, por fim, escolher o maior N.

Passo 2

Escrevendo
N=prodi=1^kpi^ai,
temos
dl(N^2r)=prodi=1^k(2ai+1)=63
Como 63=3cdot3cdot7, podemos repartir esse produto de três fatores ímpares de várias maneiras:
  1. um único fator: 63,
  2. dois fatores: 7times9 ou 3times21,
  3. três fatores: 3times3times7.

Passo 3

Para cada caso traduzo de volta nos expoentes ai:
  1. Se ,(2a1+1)=63, então a1=31 e k=1.
  2. Se ,(2a1+1,2a2+1)=(7,9), então (a1,a2)=(3,4) (ou vice-versa).
  3. Se ,(2a1+1,2a2+1,2a3+1)=(3,3,7), então (a1,a2,a3)=(1,1,3) em alguma ordem.

Passo 4

Como N deve ser múltiplo de 83, algum pi é 83 e seu expoente ai>=1.
  • No caso 1) sobra apenas N=83^31.
  • Nos casos 2) e 3) haveria outros primos além de 83, e escolhemos esses primos originalmente livres: aumentando esses primos podemos tornar N arbitrariamente grande. Logo não existe “maior” N nesses casos, pois podemos tomar outro primo maior que gere um produto ainda maior.

Passo 5

O único caso que produz um N máximo (e bem definido) é o de um único primo, 83, com expoente 31.

Resposta

N = 83^31

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