Qual é a condição que n deve satisfazer para que o desenvolvimento de (x+1x^2)^n
tenha um termo independente de x ? tenha um termo independente de x ?

Passo 1

O enunciado pede a condição para que, ao desenvolver l(x+tfrac1x^2r)^n pelo Teorema binomial, apareça um termo independente de x. Para isso, vamos escrever o termo geral da expansão e exigir que sua potência em x seja zero.

Passo 2

Pelo Teorema binomial, o termo de índice k (com 0<= k<= n) em l(x+x^-2r)^n é
binomnk,x^,n-k,l(x^-2r)^k =binomnk,x^,n-k-2k =binomnk,x^,n-3k,

Passo 3

Para que esse termo seja independente de x, precisamos ter
n-3k=0
ou seja
k=n3,
Como k deve ser inteiro entre 0 e n, conclui-se que tfracn3 deve ser inteiro.

Resposta

A condição é que n seja múltiplo de 3, isto é
nequiv 0pmod3

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