Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (2 x+3 y)^4 ?

Solução

(2 x+3 y)^4=(2 x)^4+4 cdot(2 x)^3 cdot(3 y)+6 cdot(2 x)^2 cdot(3 y)^2+4 cdot(2 x) cdot(3 y)^3+(3 y)^4
Essa igualdade vale forall x, y reais; se fizermos x=1 e y=1, teremos:
19 membro: (2 cdot 1+3 cdot 1)^4=5^4=625
2? membro: 2^4+4 cdot 2^3 cdot 3+6 cdot 2^2 cdot 3^2+4 cdot 2 cdot 3^3+3^4
que é exatamente a soma dos coeficientes. Logo, a soma dos coeficientes é 625.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x+3y)^4. O conteúdo aqui é o Teorema Binomial e o truque de avaliar o polinômio em x=1 e y=1 para somar todos os coeficientes.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, temos
(2x+3y)^4 =sumk=0^4binom4k(2x)^4-k(3y)^k =sumk=0^4binom4k2^4-k3^kx^4-ky^k

Passo 3

Para somar todos os coeficientes, basta tomar x=1 e y=1, pois isso elimina as variáveis e deixa apenas os coeficientes:
S=sumk=0^4binom4k2^4-k3^k=(2+3)^4

Passo 4

Calculando,
(2+3)^4=5^4=625

Resposta

A soma dos coeficientes é 625.

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