Determine o valor de N , de modo que:
N=8 times 3^n times 5^n+1 tem 48 divisores.

Passo 1

O enunciado pede para determinar N de modo que
N = 8 times 3^n times 5^n+1
tenha exatamente 48 divisores. O conteúdo principal aqui é a fórmula que diz que, se
N = p1^a1 p2^a2cdots pk^ak,
então o número de divisores de N é
d(N) = (a1+1)(a2+1)cdots(ak+1)

Passo 2

Primeiro reescrevemos 8 em termos de fatoração prima: 8 = 2^3. Logo
N = 2^3 times 3^n times 5^n+1
Aqui os expoentes são a1=3, a2=n e a3=n+1.

Passo 3

Aplicando a fórmula do número de divisores, temos
d(N) = (3+1),(n+1),(n+2)
Como queremos d(N)=48, impomos
4,(n+1),(n+2)=48

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos
(n+1)(n+2)=12
Essa é uma equação quadrática em termos de m=n+1:
m(m+1)=12Longrightarrow m^2 + m - 12 = 0
As raízes são
m = -1pmraiz1+482 = -1pm72,
logo m=3 (descartamos m=-4 pois n>=0). Assim
n+1 = 3 Longrightarrow n = 2

Passo 5

Substituindo n=2 em N = 8 times 3^n times 5^n+1, vem
N = 8 times 3^2 times 5^3 = 8 times 9 times 125 = 9000

Resposta

N = 9000

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