Números Complexos. Obtenha na forma x+i y, mostrando os detalhes do que fizer:
(1+i)^{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1+i)^{12} e expressar o resultado na forma x + i\,y.
O conteúdo necessário é a forma trigonométrica de um número complexo e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Representamos 1+i na forma trigonométrica. Primeiro o módulo:
|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},
e depois o argumento:
\arg(1+i)=\frac{\pi}{4}.
Portanto,
1+i=\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Aplicamos o Teorema de De Moivre:
(1+i)^{12}=(\sqrt{2})^{12}\Bigl(\cos\bigl(12\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(12\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr).
Como (\sqrt{2})^{12}=(2^{1/2})^{12}=2^6=64 e
12\cdot\tfrac{\pi}{4}=3\pi,
segue que
(1+i)^{12}=64\bigl(\cos(3\pi)+i\sin(3\pi)\bigr) =64\bigl(-1+i\cdot0\bigr) =-64.

Resposta

-64 + 0i

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