De que modo a potência geral
é definida? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos a potência geral de um número complexo
elevado a um expoente complexo
. Vamos usar o conceito de exponencial e de logaritmo complexo para chegar à definição de
.
Passo 2
Em análise complexa, primeiro lembramos que o logaritmo de
é multivalorado. Escrevendo
na forma trigonométrica
, temos
onde
. A partir daí, definimos a potência geral por
Passo 3
Como
tem infinitos valores (um para cada inteiro
), a potência
também é, em geral, multivalorada:
para todos
. Quando escolhemos o ramo principal (isto é,
e
), obtemos o valor principal de
, usualmente denotado por
.
Passo 4
Vamos ver três exemplos práticos usando o ramo principal:
-
e :
e , logo -
e :
e , então o valor principal é -
e :
e , daí
Resposta
A potência geral de
por um expoente complexo
é definida por
onde
No ramo principal (com
e
), temos os valores principais, por exemplo: