De que modo a potência geral z^{c} é definida? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a potência geral de um número complexo z elevado a um expoente complexo c. Vamos usar o conceito de exponencial e de logaritmo complexo para chegar à definição de z^{c}.

Passo 2

Em análise complexa, primeiro lembramos que o logaritmo de z\neq0 é multivalorado. Escrevendo z na forma trigonométrica z=|z|e^{i\theta}, temos
\Log z = \ln|z| + i(\theta + 2\pi k),\quad k\in\mathbb{Z},
onde \theta=\arg z. A partir daí, definimos a potência geral por
z^{c} = \exp\bigl(c\,\Log z\bigr).

Passo 3

Como \Log z tem infinitos valores (um para cada inteiro k), a potência z^{c} também é, em geral, multivalorada:
z^{c} = \exp\bigl(c\,[\ln|z| + i(\arg z + 2\pi k)]\bigr),
para todos k\in\mathbb{Z}. Quando escolhemos o ramo principal (isto é, k=0 e \arg z\in(-\pi,\pi]), obtemos o valor principal de z^{c}, usualmente denotado por \mathrm{PV}(z^{c}).

Passo 4

Vamos ver três exemplos práticos usando o ramo principal:
  1. z=1 e c\in\mathbb{C}:
    \ln|1|=0 e \arg1=0, logo
    1^{c} = \exp\bigl(c\,[0 + i\cdot0]\bigr) = \exp(0)=1.
  2. z=-1 e c=\tfrac12:
    \ln|{-1}|=0 e \arg(-1)=\pi, então o valor principal é
    (-1)^{1/2} = \exp\!\Bigl(\tfrac12[0 + i\pi]\Bigr) = e^{i\pi/2} = i.
  3. z=2 e c=i:
    \ln|2|=\ln2 e \arg2=0, daí
    2^{\,i} = \exp\bigl(i[\ln2 + i\cdot0]\bigr) = e^{\,i\ln2} = \cos(\ln2)+i\sin(\ln2).

Resposta

A potência geral de z\neq0 por um expoente complexo c é definida por
z^{c} = \exp\bigl(c\,\Log z\bigr),
onde
\Log z = \ln|z| + i(\arg z + 2\pi k),\quad k\in\mathbb{Z}.
No ramo principal (com k=0 e \arg z\in(-\pi,\pi]), temos os valores principais, por exemplo:
1^{c}=1,\quad (-1)^{1/2}=i,\quad 2^{\,i}=\cos(\ln2)+i\sin(\ln2).

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