O que é o valor principal de \ln z ?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o valor principal da função logaritmo complexo, ou seja, a forma de escolher um único ramo (uma única “folha”) da função multivalorada \ln z.
Conteúdo: análise complexa e definição de ramos de funções multivaloradas.

Passo 2

Recordando que o logaritmo complexo é multivalorado, de forma geral escrevemos
\ln z = \ln|z| + i\,\arg(z) + 2\pi i k,
onde k\in\mathbb{Z} e \arg(z) é algum valor do argumento de z.

Passo 3

Para escolher o ramo principal, definimos o argumento principal \Arg z de modo que
\Arg z \in (-\pi,\pi].
Convenção: fazemos um corte ao longo do eixo real negativo (incluindo a origem), de forma a impedir voltas completas ao redor da origem.

Resposta

O valor principal do logaritmo complexo é
\Ln z = \ln|z| + i\,\Arg z,
com \Arg z\in(-\pi,\pi].

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