(UE-CE). Os números complexos z=x+y i e w=y+x i satisfazem às igualdades |z|+|w|=16. Se z barw-w barz=0, em que barz=x-y i e barw=y-x i, então o valor da soma |x|+|y| é:
4 raiz2

Passo 1

O enunciado dá os complexos
z = x + yi e w = y + xi,
com as condições
|z| + |w| = 16
e
z,w ;-; w,z ;=; 0
O conteúdo aqui é cálculo de módulo de número complexo e produto com conjugado para extrair condições em x e y.

Passo 2

Calcular os módulos
|z| = raizx^2 + y^2, |w| = raizy^2 + x^2 = raizx^2 + y^2
Logo
|z| + |w| = 2,raizx^2 + y^2 = 16 Longrightarrow raizx^2 + y^2 = 8 Longrightarrow x^2 + y^2 = 64

Passo 3

Vamos expandir
z,w = (x + yi)(,y - xi) =2xy + i,(y^2 - x^2),
w,z = (y + xi)(,x - yi) =2xy + i,(x^2 - y^2)
Então
z,w - w,z =2i,(y^2 - x^2) = 0 Longrightarrow y^2 = x^2

Passo 4

De y^2=x^2 segue |y|=|x|. Substituindo em x^2+y^2=64
2x^2 = 64 Longrightarrow x^2 = 32 Longrightarrow |x| = raiz32 = 4raiz2
Logo |y|=4raiz2 e
|x| + |y| = 4raiz2 + 4raiz2 = 8raiz2

Resposta

8raiz2

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