(UE-CE). Os números complexos z=x+y i e w=y+x i satisfazem às igualdades |z|+|w|=16. Se z barw-w barz=0, em que barz=x-y i e barw=y-x i, então o valor da soma |x|+|y| é:
16 raiz2

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos
z = x + y,i, w = y + x,i
e pede a soma |x|+|y| sabendo que
  1. |z| + |w| = 16, e
  2. z,overline w - w,overline z = 0.
    O conteúdo aqui é módulo de número complexo e manipulação de conjugados.

Passo 2

Usamos ,|z| = raizx^2 + y^2 e ,|w| = raizy^2 + x^2 = raizx^2 + y^2.
Então
|z| + |w| = 2,raizx^2 + y^2 = 16
que implica
raizx^2 + y^2 = 8 Longrightarrow x^2 + y^2 = 64

Passo 3

Vamos calcular
z,overline w = (x + y,i)(y - x,i) e w,overline z = (y + x,i)(x - y,i)
Fazendo as multiplicações, chega-se a
z,overline w - w,overline z = 2,i,(y^2 - x^2)
Como isso deve ser zero, obtemos
y^2 - x^2 = 0 Longrightarrow y^2 = x^2 Longrightarrow |y| = |x|

Passo 4

Das equações
x^2 + y^2 = 64 e y^2 = x^2
segue-se
2,x^2 = 64 Longrightarrow x^2 = 32 Longrightarrow |x| = raiz32 = 4raiz2,
e portanto |y| = 4raiz2.

Passo 5

Finalmente,
|x| + |y| = 4raiz2 + 4raiz2 = 8raiz2

Resposta

8raiz2

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