(Unesp-SP) Dada a expressão A=(5-i x)(5 x-i^9), em que x in R e i é a unidade imaginária, quais são os valores de x que tornam A real? Para esses valores de x, quais são os resultados de A?

Passo 1

O enunciado dá
A = 5 - i x5x - i^9,
com xinR e i a unidade imaginária, e pede os valores de x que fazem A real e, para esses x, o valor de A. Vamos usar manipulação de números complexos: simplificar i^9, racionalizar o denominador e igualar a parte imaginária a zero.

Passo 2

Como
i^9 = i^4cdot2+1 = (i^4)^2,i = 1cdot i = i,
temos
A = 5 - i x5x - i

Passo 3

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por
5x - i = 5x + i:
A = (5 - i x)(5x + i)(5x - i)(5x + i) = (5 - i x)(5x + i)25x^2 + 1
No numerador,
(5 - i x)(5x + i) =25x + 5i -5i x^2 + x =26x + 5i(1 - x^2)
Logo
A = 26x25x^2 + 1 ;+; i,5(1 - x^2)25x^2 + 1

Passo 4

Para A ser real, sua parte imaginária deve ser zero:
5(1 - x^2)25x^2 + 1 = 0 ;Longrightarrow;1 - x^2 = 0 ;Longrightarrow;x^2 = 1 ;Longrightarrow;x = pm 1

Passo 5

Para x = 1:
A = 26cdot125cdot1^2 + 1 = 2626 = 1
Para x = -1:
A = 26cdot(-1)25cdot1 + 1 = -2626 = -1

Resposta

x = 1 torna A = 1.
x = -1 torna A = -1.

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