(Unesp-SP) Dada a expressão , em que e é a unidade imaginária, quais são os valores de que tornam A real? Para esses valores de , quais são os resultados de A?
Passo 1
O enunciado dá
com e a unidade imaginária, e pede os valores de que fazem real e, para esses , o valor de . Vamos usar manipulação de números complexos: simplificar , racionalizar o denominador e igualar a parte imaginária a zero.
Passo 2
Como
temos
Passo 3
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por :
A = (5 - i x)(5x + i)(5x - i)(5x + i) = (5 - i x)(5x + i)25x^2 + 1
No numerador,
(5 - i x)(5x + i) =25x + 5i -5i x^2 + x =26x + 5i(1 - x^2)
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A = 26x25x^2 + 1 ;+; i,5(1 - x^2)25x^2 + 1
Passo 4
Para A ser real, sua parte imaginária deve ser zero:
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 6: Complexos, polinômios e equações - 8ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 13