Os números x, y, z formam, nessa ordem, uma P.A. de soma 15. Por outro lado, os números x, y+1, z+5 formam, nessa ordem, uma P.G. de soma 21. Sendo 0 <= x <= 10, calcule o valor de 3 z.

Passo 1

Resumindo o enunciado: os números x,y,z formam uma P.A. cuja soma é 15 e os números x,y+1,z+5 formam uma P.G. cuja soma é 21. Precisamos calcular 3z, com a condição 0 <= x <= 10.

Passo 2

Para a P.A. temos que y é a média aritmética de x e z:
y = x+z2
e a soma
x+y+z = 15
Substituindo y, obtemos
x + x+z2 + z = 15 Longrightarrow 3x + 3z2 = 15 Longrightarrow x+z = 10
Logo,
z = 10 - x, y = x+(10-x)2 = 5

Passo 3

Da P.G. sabemos que a soma
x + (y+1) + (z+5) = 21
é equivalente a
x+y+z+6 = 21 Longrightarrow x+y+z = 15,
que já tínhamos, de modo que não traz informação extra.

Passo 4

Também na P.G. vale
(y+1)^2 = x,(z+5)
Como y = 5 e z = 10-x, temos
6^2 = x(15 - x) Longrightarrow x^2 - 15x + 36 = 0

Passo 5

Resolvendo x^2 -15x +36 = 0 obtemos
x = 15 pm raiz225 -1442 = 15 pm 92
logo x = 12 ou x = 3. Pela condição 0 <= x <= 10 escolhemos x = 3.

Passo 6

Assim
z = 10 - x = 10 - 3 = 7

Resposta

21

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