Prove que, se a, b, c formam, nesta ordem, uma P.A. e uma P.G., então a=b=c.
Prove que, se os números a, b, c, d formam, nessa ordem, uma P.G., então vale a relação (b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=(a-d)^2.

Passo 1

O enunciado pede duas provas usando as definições de progressão aritmética (P.A.) e progressão geométrica (P.G.).
  1. Mostrar que, se a,b,c estão em P.A. e em P.G. (nessa ordem), então a=b=c.
  2. Mostrar que, se a,b,c,d estão em P.G. (nessa ordem), então
(b-c)^2 + (c-a)^2 + (d-b)^2 ;=;(a-d)^2
Para isso vamos usar as relações fundamentais: em P.A. temos igualdade de diferenças e em P.G. igualdade de razões.

Passo 2

(Prova de a,b,c em P.A. e P.G. implica a=b=c)
Em P.A. temos
b - a ;=; c - b Longrightarrow 2b = a + c
Em P.G. temos
ba = cb Longrightarrow b^2 = a,c
Substituindo c = 2b - a na segunda equação,
b^2 = a,(2b - a) Longrightarrow b^2 = 2ab - a^2 Longrightarrow a^2 - 2ab + b^2 = 0 Longrightarrow (a - b)^2 = 0 Longrightarrow a = b
Como 2b = a + c e agora a=b, segue 2b = b + c, ou seja c=b. Logo
a = b = c

Passo 3

(Prova da identidade para a,b,c,d em P.G.)
Em P.G. existe razão comum r tal que
b = a,r, c = b,r = a,r^2, d = c,r = a,r^3
Calculamos cada diferença:
b - c = a,r - a,r^2 = a,r(1 - r),
c - a = a,r^2 - a = a,(r^2 - 1) = a,(r-1)(r+1),
d - b = a,r^3 - a,r = a,r,(r^2 - 1) = a,r,(r-1)(r+1)
Elevando ao quadrado e somando, fator comum a^2(r-1)^2:
(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2 = a^2(r-1)^2l[r^2 + (r+1)^2 + r^2(r+1)^2r]
Mas
r^2 + (r+1)^2 + r^2(r+1)^2 = r^2 + (r^2+2r+1) + r^2(r^2+2r+1) = (r^2+r+1)^2
Portanto
(b-c)^2+,(c-a)^2+,(d-b)^2 = a^2(r-1)^2(r^2+r+1)^2
Por outro lado,
a - d = a - a,r^3 = a,(1 - r^3) = a,(1 - r)(1 + r + r^2),
de modo que
(a-d)^2 = a^2(1 - r)^2(1 + r + r^2)^2 = a^2(r-1)^2(r^2+r+1)^2
Logo
(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2 = (a-d)^2

Resposta

  1. Se a,b,c estão em P.A. e em P.G., então a=b=c.
  2. Se a,b,c,d estão em P.G., então
(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2 = (a-d)^2

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