Prove que, se
formam, nesta ordem, uma P.A. e uma P.G., então
.
Prove que, se os números
formam, nessa ordem, uma P.G., então vale a relação
.
Prove que, se os números
Passo 1
O enunciado pede duas provas usando as definições de progressão aritmética (P.A.) e progressão geométrica (P.G.).
- Mostrar que, se
estão em P.A. e em P.G. (nessa ordem), então . - Mostrar que, se
estão em P.G. (nessa ordem), então
Para isso vamos usar as relações fundamentais: em P.A. temos igualdade de diferenças e em P.G. igualdade de razões.
Passo 2
(Prova de
em P.A. e P.G. implica
)
Em P.A. temos
Em P.A. temos
Em P.G. temos
Substituindo
na segunda equação,
Como
e agora
, segue
, ou seja
. Logo
Passo 3
(Prova da identidade para
em P.G.)
Em P.G. existe razão comum tal que
Em P.G. existe razão comum
Calculamos cada diferença:
Elevando ao quadrado e somando, fator comum
:
Mas
Portanto
Por outro lado,
de modo que
Logo
Resposta
- Se
estão em P.A. e em P.G., então . - Se
estão em P.G., então