Numa progressão geométrica de seis termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determine a progressão.

Passo 1

Temos uma progressão geométrica de seis termos: a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5. Sabemos que a soma dos termos de ordem ímpar (1º, 3º e 5º) é 182 e a dos termos de ordem par (2º, 4º e 6º) é 546. O conteúdo usado será soma de termos de uma PG e propriedades de equações algébricas.

Passo 2

Escrevemos as somas em termos de a e r. A soma dos ímpares é
a + ar^2 + ar^4 = a(1 + r^2 + r^4) = 182,
e a dos pares é
ar + ar^3 + ar^5 = ar(1 + r^2 + r^4) = 546

Passo 3

Dividindo a soma dos pares pela soma dos ímpares, eliminamos a e a soma comum 1 + r^2 + r^4:
ar(1 + r^2 + r^4)a(1 + r^2 + r^4) = r = 546182 = 3

Passo 4

Com r = 3, voltamos à soma dos ímpares:
a(1 + 3^2 + 3^4) = a(1 + 9 + 81) = a cdot 91 = 182
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a = 18291 = 2
Assim, os seis termos são
2,;2cdot3=6,;2cdot3^2=18,;2cdot3^3=54,;2cdot3^4=162,;2cdot3^5=486

Resposta

A progressão geométrica é
2,;6,;18,;54,;162,;486

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