Para quais números inteiros positivos n é n+6<\left(n^{2}-8 n\right) / 16 ? Demonstre sua resposta usando a indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos n tais que
n+6 < \frac{n^2 - 8n}{16},
e depois provar que essa condição vale para todos esses n via indução matemática. O conteúdo principal é resolver uma inequação quadrática e em seguida montar a prova indutiva.

Passo 2

Vamos resolver a inequação. Multiplicando ambos os lados por 16 (positivo, não inverte o sinal):
16(n+6) < n^2 - 8n
16n + 96 < n^2 - 8n
0 < n^2 - 8n - 16n - 96
0 < n^2 - 24n - 96.
O polinômio n^2 -24n -96 tem raízes
n = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 + 4\cdot96}}{2} = 12 \pm 4\sqrt{15},
isto é, cerca de 12 - 15{,}5\approx -3{,}5 e 12+15{,}5\approx27{,}5. Como é uma parábola positiva para n\to\pm\infty, temos
n^2 -24n -96 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad n > 12 + 4\sqrt{15}\approx27{,}5.
Entre inteiros positivos, isso equivale a n \ge 28.

Passo 3

Concluímos que a solução da inequação, entre inteiros positivos, é
n \in \{28,29,30,\dots\}.
Agora, vamos provar por indução que, de fato, para todo n\ge28 vale
n+6 < \frac{n^2 -8n}{16}.

Passo 4

Base da indução n=28:
Calculemos os dois lados em n=28:
28 + 6 = 34, \qquad \frac{28^2 - 8\cdot28}{16} = \frac{784 - 224}{16} = \frac{560}{16} = 35.
Como 34 < 35, a base está verificada.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que, para algum k\ge28,
k+6 < \frac{k^2 - 8k}{16}.
Queremos mostrar que
(k+1) + 6 < \frac{(k+1)^2 - 8(k+1)}{16}.
O lado direito expande-se em
\frac{(k+1)^2 -8(k+1)}{16} = \frac{k^2 +2k +1 -8k -8}{16} = \frac{k^2 -6k -7}{16}.
Logo, precisamos provar
k+7 < \frac{k^2 -6k -7}{16},
ou seja, após multiplicar por 16,
16k + 112 < k^2 - 6k -7 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 < k^2 -22k -119.
Note que
k^2 -22k -119 = (k^2 -24k -96) + 2k -23.
Pela hipótese indutiva temos k^2 -24k -96>0. Como k\ge28, temos 2k-23\ge2\cdot28-23=33>0. Logo
k^2 -22k -119 > 0 + 33 > 0,
o que conclui o passo indutivo.

Resposta

A inequação vale exatamente para todos os inteiros positivos n\ge28.

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