Para quais números inteiros positivos
é
? Demonstre sua resposta usando a indução matemática.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos
tais que
e depois provar que essa condição vale para todos esses
via indução matemática. O conteúdo principal é resolver uma inequação quadrática e em seguida montar a prova indutiva.
Passo 2
Vamos resolver a inequação. Multiplicando ambos os lados por
(positivo, não inverte o sinal):
O polinômio
tem raízes
isto é, cerca de
e
. Como é uma parábola positiva para
, temos
Entre inteiros positivos, isso equivale a
.
Passo 3
Concluímos que a solução da inequação, entre inteiros positivos, é
Agora, vamos provar por indução que, de fato, para todo
vale
Passo 4
Base da indução
:
Calculemos os dois lados em :
Calculemos os dois lados em
Como
, a base está verificada.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que, para algum
,
Queremos mostrar que
O lado direito expande-se em
Logo, precisamos provar
ou seja, após multiplicar por
,
Note que
Pela hipótese indutiva temos
. Como
, temos
. Logo
o que conclui o passo indutivo.
Resposta
A inequação vale exatamente para todos os inteiros positivos
.