Provar que a derivada da função
existe em qualquer ponto, sendo igual a
Passo 1
O enunciado define
e pede para provar que
f é diferenciável em todo ponto, com
Para isso vamos usar a regra do produto para
xneq0 e a definição de derivada em
0 junto com limites trigonométricos e expansão em série.]
Passo 2
Para
xneq0 escrevemos
onde
g(x)=1x e
h(x)=sen x . Como
pela regra do produto
Logo, em todo
xneq0 ,
f é diferenciável e sua derivada é
Passo 3
Em
x=0 usamos a definição de derivada:
Passo 4
Reescrevendo a fração:
Como sabemos a expansão em série
sen h = h - tfrach^36+o(h^3) , temos
Portanto