Provar que a derivada da função
f(x)=1x sen x, x neq 0 ; f(0)=1
existe em qualquer ponto, sendo igual a
f^prime(x)=-1x^2 sen x+1x cos x, x neq 0 ; f^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado define
f(x)= dfrac1xsen x,&xneq0,[6pt] 1,&x=0,
e pede para provar que f é diferenciável em todo ponto, com
f'(x)=-1x^2sen x+1xcos x(xneq0), f'(0)=0
Para isso vamos usar a regra do produto para xneq0 e a definição de derivada em 0 junto com limites trigonométricos e expansão em série.]

Passo 2

Para xneq0 escrevemos
f(x)=g(x),h(x),
onde g(x)=1x e h(x)=sen x. Como
g'(x)=-1x^2, h'(x)=cos x,
pela regra do produto
f'(x)=g'(x),h(x)+g(x),h'(x) =-1x^2sen x+1xcos x
Logo, em todo xneq0, f é diferenciável e sua derivada é
f'(x)=-1x^2sen x+1xcos x

Passo 3

Em x=0 usamos a definição de derivada:
f'(0) =limhto0f(h)-f(0)h =limhto0sen hh-1h

Passo 4

Reescrevendo a fração:
sen hh-1h =sen h - hh^2
Como sabemos a expansão em série
sen h = h - tfrach^36+o(h^3), temos
sen h - hh^2 =-tfrach^36+o(h^3)h^2 =-h6+o(h);xrightarrow[hto0];0
Portanto
f'(0)=0

Resposta

f'(x)= -dfrac1x^2sen x+dfrac1xcos x,&xneq0,[6pt] 0,&x=0 ]

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