Desenhar o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
com a convenção de que
.
O conteúdo aqui é análise de funções do tipo exponencial generalizada, em que vamos reescrever a função como exponencial de logaritmo, estudar domínio, limites em zero e infinito, derivada para achar extremos e depois juntar tudo num esboço.
O conteúdo aqui é análise de funções do tipo exponencial generalizada, em que vamos reescrever a função como exponencial de logaritmo, estudar domínio, limites em zero e infinito, derivada para achar extremos e depois juntar tudo num esboço.
Passo 2
Reescrevemos
Assim o domínio natural é todo
, e estendemos definindo
pelo limite que veremos a seguir.
Passo 3
Limites em
. Para
e
temos
pois
. Logo
o que justifica
.
Passo 4
Limites em
. Para
,
e
dá
.
Para , note que
.
Para
Passo 5
Derivada. Defina
, de modo que
. Então
Os pontos críticos ocorrem quando
, i.e.
Passo 6
Cálculo dos extremos:
em
em
é mínimo local.
em
em
é máximo local.
Analisando o sinal de
:
- Para
, implica , cresce até o máximo em . - Para
, , decresce de até . - Para
, faz , decresce de até o mínimo em . - Para
, , cresce de até .
Passo 7
Esboço final do gráfico:
observe os pontos-chave
observe os pontos-chave
O gráfico tem forma de “vale” para
e de “morro” para
, unindo-se em
.
Resposta
O gráfico de
com
é dado pelas seguintes características:
– Domínio:
.
– Interseção com o eixo em
.
– Máximo local em .
– Mínimo local em .
– ,
.
– Interseção com o eixo
– Máximo local em
– Mínimo local em
–
Com esses pontos e comportamentos fica fácil esboçar o gráfico:
– Para , cresce de
até
.
– Para , decresce de
até
.
– Para , decresce de
até
.
– Para , cresce sem limite.
– Para
– Para
– Para
– Para