Desenhar o gráfico da função
y=(x^2)^x, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
y=(x^2)^x,
com a convenção de que y(0)=1.
O conteúdo aqui é análise de funções do tipo exponencial generalizada, em que vamos reescrever a função como exponencial de logaritmo, estudar domínio, limites em zero e infinito, derivada para achar extremos e depois juntar tudo num esboço.

Passo 2

Reescrevemos
y=(x^2)^x = e^xln(x^2) = e^2xln|x|
Assim o domínio natural é todo xneq0, e estendemos definindo y(0)=1 pelo limite que veremos a seguir.

Passo 3

Limites em xto0. Para xto0^+ e xto0^- temos
2xln|x|to0,
pois xln|x|to0. Logo
limxto0y = e^0=1,
o que justifica y(0)=1.

Passo 4

Limites em xtopminfty. Para xto+infty, x^2to+infty e x>0 (x^2)^xto+infty.
Para xto-infty, note que (x^2)^x=l(|x|^2r)^x=1/l(|x|^2r)^|x|to0.

Passo 5

Derivada. Defina g(x)=2xln|x|, de modo que y=e^g(x). Então
g'(x)=2ln|x|+2
Os pontos críticos ocorrem quando g'(x)=0, i.e.
2ln|x|+2=0 Longrightarrow ln|x|=-1 Longrightarrow |x|=e^-1

Passo 6

Cálculo dos extremos:
em x=e^-1
yl(e^-1r) = e^,2(e^-1)ln(e^-1) = e^2(e^-1)(-1) = e^-2/eapprox0,478,
é mínimo local.
em x=-e^-1
yl(-e^-1r) = e^,2(-e^-1)ln(e^-1) = e^2/eapprox2,089,
é máximo local.
Analisando o sinal de g'(x):
  • Para x<-e^-1, ln|x|>-1 implica g'>0, y cresce até o máximo em -e^-1.
  • Para -e^-1<x<0, g'<0, y decresce de y(-e^-1) até y(0)=1.
  • Para 0<x<e^-1, ln x<-1 faz g'<0, y decresce de 1 até o mínimo em e^-1.
  • Para x>e^-1, g'>0, y cresce de e^-2/e até +infty.

Passo 7

Esboço final do gráfico:
observe os pontos-chave
(-infty,0)to yto0, (-e^-1,e^2/e) máximo local, (0,1), (e^-1,e^-2/e) mínimo local, +inftyto yto+infty áí
O gráfico tem forma de “vale” para x>0 e de “morro” para x<0, unindo-se em (0,1).

Resposta

O gráfico de y=(x^2)^x com y(0)=1 é dado pelas seguintes características:
– Domínio: R.
– Interseção com o eixo y em (0,1).
– Máximo local em l(-e^-1,e^2/er).
– Mínimo local em l(e^-1,e^-2/er).
limxto-inftyy=0, limxto+inftyy=+infty.
Com esses pontos e comportamentos fica fácil esboçar o gráfico:
– Para x< -e^-1, cresce de 0 até approx2,089.
– Para -e^-1<x<0, decresce de approx2,089 até 1.
– Para 0<x<e^-1, decresce de 1 até approx0,478.
– Para x>e^-1, cresce sem limite.

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