(OBM-2001) No conjunto
001, …, 1000000000001
cada elemento é um número formado pelo algarismo 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos podemos afirmar que:
A) é igual 11
B) é igual a 4
C) é menor do que 3
D) é maior do que 4 e menor do que 11
E) é 3
A) é igual 11
B) é igual a 4
C) é menor do que 3
D) é maior do que 4 e menor do que 11
E) é 3
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência de números
ou seja
,
e pede quantos desses 11 números são compostos. Vamos usar critérios de divisibilidade para .
e pede quantos desses 11 números são compostos. Vamos usar critérios de divisibilidade para
Passo 2
Se
é ímpar então
é divisível por
, pois vale o fato
Logo, para
todos são compostos (divisíveis por 11).
Portanto, já temos 5 números compostos vindos dos ímpares.
Portanto, já temos 5 números compostos vindos dos
Passo 3
Para
par, podemos usar que se
e
é ímpar então
Isto cobre
. Para
e
usamos fatorizações conhecidas:
Para
basta notar que
divide
.
Sobram e
como candidatos a primo, mas
já vimos que é composto e
Sobram
é primo.
Logo, entre os 6 casos pares apenas
dá primo e os outros 5 são compostos.
Logo, entre os 6 casos pares
Passo 4
No total há
compostos de
ímpar e
compostos de
par (exceto
), somando
números compostos. Assim o número de compostos é maior que 4 e menor que 11.
Resposta
D) é maior do que 4 e menor do que 11.