(OBM-2001) No conjunto 101,1001,10 001, …, 1000000000001 cada elemento é um número formado pelo algarismo 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos podemos afirmar que:
A) é igual 11
B) é igual a 4
C) é menor do que 3
D) é maior do que 4 e menor do que 11
E) é 3

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência de números
10^n + 1, n=2,3,4,dots,12,
ou seja
101,1001,10001,dots,1000000000001,
e pede quantos desses 11 números são compostos. Vamos usar critérios de divisibilidade para b^n+1.

Passo 2

Se n é ímpar então 10^n+1 é divisível por 10+1=11, pois vale o fato
b^n+1;é divisível por;b+1;quando (n) é ímpar éíéí
Logo, para n=3,5,7,9,11 todos são compostos (divisíveis por 11).
Portanto, já temos 5 números compostos vindos dos n ímpares.

Passo 3

Para n par, podemos usar que se n=2m e m é ímpar então
10^2m+1;é divisível por;10^2+1=101 éí
Isto cobre n=6,10. Para n=4 e n=12 usamos fatorizações conhecidas:
10^4+1=10001=73cdot137, 10^12+1=1000000000001=10001cdot99999999
Para n=8 basta notar que 17 divide 10^8+1.
Sobram n=2 e n=8 como candidatos a primo, mas 10^8+1 já vimos que é composto e
10^2+1=101
é primo.
Logo, entre os 6 casos pares (n=2,4,6,8,10,12) apenas n=2 dá primo e os outros 5 são compostos.

Passo 4

No total há 5 compostos de n ímpar e 5 compostos de n par (exceto n=2), somando 10 números compostos. Assim o número de compostos é maior que 4 e menor que 11.

Resposta

D) é maior do que 4 e menor do que 11.

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