(Olimpíada de Campina Grande-2003) A expressão \sqrt{4+4 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}+\sqrt{4-4 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}} é igual a um número inteiro. Então, este número é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
c) 7
d) 5

Passo 1

O enunciado pede o valor de
E = \sqrt{4 + 4 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \;+\;\sqrt{4 - 4 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}
e afirma que esse valor é um número inteiro. Vamos usar manipulações de radicais e reconhecimento de quadrados perfeitos para achar E.

Passo 2

Defina \displaystyle x = \sqrt[3]{2}.
Então
\sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2 = x^2.
Logo os radicandos viram
4 + 4x + x^2 \quad\text{e}\quad 4 - 4x + x^2.

Passo 3

Observe que
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \quad\text{e}\quad (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4.
Portanto
\sqrt{4 + 4x + x^2} = |x + 2|, \quad \sqrt{4 - 4x + x^2} = |x - 2|.

Passo 4

Como x = \sqrt[3]{2} é positivo e x < 2, temos
|x + 2| = x + 2, \quad |x - 2| = 2 - x.
Assim
E = (x + 2) + (2 - x) = 4.

Resposta

4

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