1. (São José dos Campos-96) Ache, se possível, três números inteiros em progressão aritmética cujo produto é um número primo.

Passo 1

O enunciado pede três números inteiros em progressão aritmética cujo produto seja um número primo. O conteúdo envolve progressão aritmética (PA) e fatoração de primos. Vamos chamar os termos da PA de x, x+d e x+2d e impor a condição
x,(x+d),(x+2d)=p,
onde p é primo.

Passo 2

Como p é primo, seus únicos divisores inteiros são pm1 e pm p. Logo, para três inteiros terem produto p, um deles deve ser pm p e os outros dois devem ser pm1. Vamos atribuir esses valores aos termos x, x+d e x+2d de forma a manter a estrutura de PA e verificar quais dão solução.

Passo 3

Uma atribuição que se mostra viável é colocar o termo do meio igual a -1, isto é,
x+d=-1
Daí d=-1-x e o produto fica
p = xcdot(-1)cdotl(x+2dr) = -,xl(x+2(-1-x)r) = -,x(-2 - x) = x(x+2)
Para que p seja primo, x(x+2) deve ser um primo positivo. Testando inteiros para x:
  • Se x=-3, então x+2=-1 e x(x+2)=(-3)(-1)=3.
  • Se x=1, então x+2=3 e x(x+2)=1cdot3=3.
Ambos dão p=3, levando à mesma PA (invertida no segundo caso):
-3,,-1,,1.

Resposta

As três inteiros são -3, -1 e 1, cujo produto é 3.

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