OBM - Quantos dígitos têm o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 2.001?
a) 9
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

O enunciado pede o menor quadrado perfeito x=n^2 cujos quatro últimos dígitos são 2001, ou seja,
n^2 equiv 2001 pmod10000
O conteúdo principal aqui é aritmética modular e o Teorema Chinês do Resto, dividindo em módulo 16 e módulo 625.

Passo 2

Separamos
n^2 equiv 2001 pmod16 e n^2 equiv 2001 pmod625
Como 2001 bmod 16 =1, a primeira congruência vira
n^2 equiv 1 pmod16,
cuja solução é que n seja ímpar.

Passo 3

Para a segunda congruência, note que 2001 bmod 625 =126. Queremos
n^2 equiv 126 pmod625
Usamos um processo de “Hensel” em etapas:
  1. Módulo 5: 126equiv1pmod5 nequivpm1pmod5.
  2. Elevação a módulo 25: refina para nequiv1 ou nequiv24pmod25.
  3. A módulo 125: obtemos nequiv1 ou nequiv124pmod125.
  4. Finalmente a módulo 625: encontram-se
nequiv 249pmod625 ou nequiv 376pmod625

Passo 4

Agora aplicamos o CRT com o fato de n ser ímpar. Para cada uma das duas classes modulo 625, geramos
n = 249 + 625k ou n = 376 + 625k,
e exigimos n ímpar. No primeiro caso ( 249 já é ímpar), basta k par, e o menor n>0 é com k=0:
n=249
No segundo caso a menor solução ímpar seria n=376+625cdot1=1001>249. Logo o menor n positivo que faz n^2equiv2001pmod10000 é
n=249

Passo 5

Calculamos o quadrado:
n^2 = 249^2 = (250-1)^2 = 62500 - 500 + 1 = 62001,
que de fato termina em 2001.

Resposta

O menor quadrado perfeito com finais em 2001 é 62001, que tem 5 dígitos. Portanto, a alternativa correta é a letra b).

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