OBM - Quantos dígitos têm o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 2.001?
a) 9
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
a) 9
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Passo 1
O enunciado pede o menor quadrado perfeito
cujos quatro últimos dígitos são 2001, ou seja,
O conteúdo principal aqui é aritmética modular e o Teorema Chinês do Resto, dividindo em módulo
e módulo
.
Passo 2
Separamos
Como
, a primeira congruência vira
cuja solução é que
seja ímpar.
Passo 3
Para a segunda congruência, note que
. Queremos
Usamos um processo de “Hensel” em etapas:
- Módulo
: dá . - Elevação a módulo
: refina para ou . - A módulo
: obtemos ou . - Finalmente a módulo
: encontram-se
Passo 4
Agora aplicamos o CRT com o fato de
ser ímpar. Para cada uma das duas classes modulo
, geramos
e exigimos
ímpar. No primeiro caso (
já é ímpar), basta
par, e o menor
é com
:
No segundo caso a menor solução ímpar seria
. Logo o menor
positivo que faz
é
Passo 5
Calculamos o quadrado:
que de fato termina em 2001.
Resposta
O menor quadrado perfeito com finais em 2001 é
, que tem 5 dígitos. Portanto, a alternativa correta é a letra b).