OBM - Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números inteiros de dois algarismos que satisfazem a condição de serem iguais ao dobro do produto de seus algarismos. O conteúdo aqui é aritmética elementar e manipulação de dígitos de um número.

Passo 2

Sejam a o algarismo das dezenas e b o algarismo das unidades. Como é um número de dois algarismos, temos 1 <= a <= 9 e 0 <= b <= 9. O número vale
10a + b
e o produto de seus algarismos vale a cdot b. A condição é
10a + b = 2,(a b)

Passo 3

Reescrevendo a equação para isolar b,
10a + b = 2ab Longrightarrow 10a = b,(2a - 1) Longrightarrow b = 10a2a - 1
Queremos b inteiro com 0 <= b <= 9.

Passo 4

Para cada a = 1,2,dots,9 calculamos b = tfrac10a2a-1 e verificamos se fica inteiro entre 0 e 9. Apenas em a = 3 obtemos
b = 10cdot 32cdot 3 - 1 = 305 = 6,
que é admissível. Não há outro valor de a que torne b inteiro no intervalo exigido.

Passo 5

Isso mostra que há exatamente um número de dois algarismos (que é 36) satisfazendo a condição.

Resposta

(b)

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