OBM - Se p e q são inteiros positivos tais que 710<pq<1115, o menor valor que q pode ter é:
a) 6
b) 7
c) 25
d) 30
e) 60

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo q para o qual existe inteiro positivo p satisfazendo
710 < pq < 1115
O conteúdo envolvido é manipular inequações em racionais e testar valores de q.

Passo 2

Para um dado q, a condição acima equivale a
7q10 < p < 11q15

Passo 3

O comprimento desse intervalo para p é
11q15-7q10=22q-21q30=q30
Se q30>1, ou seja q>30, então sempre cabe pelo menos um inteiro no intervalo. Mas o menor q pode ser bem menor que 30, então vamos testar q=1,2,dots até achar o primeiro que funcione.

Passo 4

Para q=1,2,3,4,5,6 o intervalo l(tfrac7q10,tfrac11q15r) tem amplitude menor que 1 e seus limites não incluem nenhum inteiro. Por exemplo, para q=6
7cdot610=4,2 e 11cdot615=4,4,
logo não há inteiro p em (4,2,4,4).

Passo 5

Para q=7 temos
7cdot710=4,9 e 11cdot715approx5,133
Nesse caso p=5 é um inteiro que satisfaz
4,9 < 5 < 5,133,
portanto existe solução e esse é o menor q.

Resposta

7 (alternativa b)

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