Prove que:
onde
é o número de divisores positivos do número natural i.
onde
Passo 1
O enunciado pede para provar que
onde
é o número de divisores positivos de
.
O conteúdo aqui é interpretação combinatória de somas duplas e troca de ordem de somatório.
O conteúdo aqui é interpretação combinatória de somas duplas e troca de ordem de somatório.
Passo 2
Lembrando que
conta todos os divisores
de
, podemos escrever
Logo a soma à esquerda vira
Passo 3
Agora interpretamos
como contagem de todos os pares
com
e
. Trocando a ordem dos somatórios, obtemos
Passo 4
Para cada
fixo, o inner sum
conta quantos múltiplos de
cabem em
. Esse número é exatamente
Portanto
Passo 5
Bastando renomear o índice
para
, chegamos ao formato do lado direito do enunciado: