Prove que:
d(1)+d(2)+d(3)+ldots+d(n)=[n1]+[n2]+[n3]+ldots+[nn]
onde d(i) é o número de divisores positivos do número natural i.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
sumi=1^nd(i);=;sumk=1^nlfloornkrfloor,
onde d(i) é o número de divisores positivos de i.
O conteúdo aqui é interpretação combinatória de somas duplas e troca de ordem de somatório.

Passo 2

Lembrando que d(i) conta todos os divisores d de i, podemos escrever
d(i);=;sumdmid i1
Logo a soma à esquerda vira
sumi=1^nd(i) ;=; sumi=1^nsumdmid i1

Passo 3

Agora interpretamos sumi=1^nsumdmid i1 como contagem de todos os pares (i,d) com 1<= i<= n e dmid i. Trocando a ordem dos somatórios, obtemos
sumi=1^nsumdmid i1 ;=; sumd=1^nsumsubstack1<= i<= n dmid i1

Passo 4

Para cada d fixo, o inner sum sumsubstack1<= i<= n dmid i1 conta quantos múltiplos de d cabem em 1,2,dots,n. Esse número é exatamente
lfloorndrfloor
Portanto
sumd=1^nsumsubstack1<= i<= n dmid i1 ;=; sumd=1^nlfloorndrfloor

Passo 5

Bastando renomear o índice d para k, chegamos ao formato do lado direito do enunciado:
sumk=1^nlfloornkrfloor

Resposta

sumi=1^nd(i);=;sumk=1^nlfloornkrfloor

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