OBM - Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas. Podemos afirmar que:
a) Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas.
b) Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.
c) Alguma coluna não tem casas ocupadas.
d) Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.
e) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.
a) Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas.
b) Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.
c) Alguma coluna não tem casas ocupadas.
d) Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.
e) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.
Passo 1
O enunciado diz que temos um tabuleiro com 6 linhas e 9 colunas, totalizando
casas, e que 32 delas estão ocupadas. Precisamos decidir quais das opções (a)–(e) são necessariamente verdadeiras, usando argumentos de princípio da casa dos pombos e exemplos de distribuição de ocupações.
Passo 2
Verificamos a afirmação (a): “Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas.”
Se todas as 9 colunas tivessem ocupadas, teríamos no mínimo
Se todas as 9 colunas tivessem
ocupações — isso cabe em 32, mas não obriga cada coluna a ter 3. Por exemplo, poderíamos ocupar 8 colunas com 4 casas cada (total
) e deixar 1 coluna com 0 casas. Nessa configuração há colunas com menos de 3 ocupadas. Logo, (a) não é necessariamente verdadeira.
Passo 3
Verificamos a afirmação (b): “Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.”
Se nenhuma coluna tivesse , o total máximo seria
Se nenhuma coluna tivesse
o que contradiz o total de 32 ocupações. Logo, em qualquer arranjo deve existir alguma coluna com
. Portanto, (b) é falsa.
Passo 4
Verificamos a afirmação (c): “Alguma coluna não tem casas ocupadas.”
Para que não haja coluna vazia, basta distribuir pelo menos 1 ocupação em cada coluna; isso consome 9 casas, restando 23 para alocar livremente. Não há impedimento em dar essa ocupação mínima a cada coluna e espalhar as 23 restantes, de modo que é possível não haver coluna vazia. Logo, (c) não é necessariamente verdadeira.
Para que não haja coluna vazia, basta distribuir pelo menos 1 ocupação em cada coluna; isso consome 9 casas, restando 23 para alocar livremente. Não há impedimento em dar essa ocupação mínima a cada coluna e espalhar as 23 restantes, de modo que é possível não haver coluna vazia. Logo, (c) não é necessariamente verdadeira.
Passo 5
Verificamos a afirmação (d): “Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.”
A média de ocupações por linha é
A média de ocupações por linha é
Se todas as linhas tivessem no máximo 5 casas ocupadas, o total seria
, o que é impossível. Portanto, deve existir pelo menos uma linha com
ocupações. Logo, (d) é verdadeira.
Passo 6
Verificamos a afirmação (e): “Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.”
Poderíamos ter uma linha com apenas 3 ocupações e as outras 5 linhas acomodarem as 29 remanescentes (por exemplo, três linhas com 9 ocupações cada e duas com 1 cada, somando ). Dessa forma, nem sempre todas as linhas têm
. Logo, (e) é falsa.
Poderíamos ter uma linha com apenas 3 ocupações e as outras 5 linhas acomodarem as 29 remanescentes (por exemplo, três linhas com 9 ocupações cada e duas com 1 cada, somando
Resposta
(d)