Obtenha uma P.A. crescente formada por três números inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.

Passo 1

O enunciado pede uma progressão aritmética crescente de três números inteiros consecutivos tais que a soma dos cubos desses termos seja igual ao quadrado da soma desses mesmos termos.
Conteúdo necessário: modelar três inteiros em P.A., expandir cubos, montar e resolver equação polinomial.

Passo 2

Como são três inteiros consecutivos em P.A. de razão 1, podemos tomar os termos como
x-1, x, x+1
que estão em ordem crescente sempre que x for inteiro.

Passo 3

Calculamos a soma dos cubos:
(x-1)^3 + x^3 + (x+1)^3 = l(x^3 -3x^2+3x-1r) + x^3 + l(x^3+3x^2+3x+1r) = 3x^3 + 6x

Passo 4

Calculamos a soma dos termos e elevamos ao quadrado:
(x-1) + x + (x+1) = 3x,
l(3xr)^2 = 9x^2

Passo 5

Igualamos soma dos cubos ao quadrado da soma:
3x^3 + 6x = 9x^2
dividindo ambos os lados por 3:
x^3 + 2x = 3x^2 Longrightarrow x^3 -3x^2 +2x = 0 Longrightarrow x,(x-1),(x-2)=0

Passo 6

As raízes da equação são
x=0, x=1, x=2
Para cada valor de x obtemos a P.A.:
se x=0: -1,0,1
se x=1: 0,1,2
se x=2: 1,2,3

Resposta

As progressões aritméticas crescentes de três inteiros consecutivos que satisfazem o enunciado são
(-1,0,1), (0,1,2), (1,2,3)

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