De 100 a 1000, quantos são os múltiplos de 2 ou 3?

Passo 1

O enunciado pede quantos números inteiros de 100 a 1000 são múltiplos de 2 ou de 3. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão, que diz que, se A é o conjunto de múltiplos de 2 e B o de múltiplos de 3, então
|Acup B| ;=; |A| + |B| - |Acap B|

Passo 2

Calcular o número de múltiplos de 2 no intervalo [100,1000]. Em geral, o número de múltiplos de k em [a,b] é
lfloor b/krfloor ;-;lfloor (a-1)/krfloor
Para k=2:
|A| = lfloor 1000/2rfloor - lfloor 99/2rfloor = 500 - 49 = 451

Passo 3

Calcular o número de múltiplos de 3 no mesmo intervalo. Para k=3:
|B| = lfloor 1000/3rfloor - lfloor 99/3rfloor = 333 - 33 = 300

Passo 4

Calcular o número de múltiplos de ambos, isto é, de lcm(2,3)=6. Para k=6:
|Acap B| = lfloor 1000/6rfloor - lfloor 99/6rfloor = 166 - 16 = 150

Passo 5

Aplicar a fórmula da inclusão-exclusão:
|Acup B| = 451 + 300 - 150 = 601

Resposta

601

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