9.5.2 Tentou-se uma solução de série da Equação (9.80) por expansão em torno do ponto
. Se
é um ponto ordinário, mostre que a equação indicial tem raízes
.
Passo 1
Estamos considerando a equação linear de segunda ordem
e tentamos uma solução pelo método de Frobenius em torno de
. Como
é ponto ordinário,
e
são analíticas em
e admitem séries de Taylor convergentes naquela vizinhança. Queremos mostrar que a equação indicial resultante tem raízes
e
.
Passo 2
Postulamos
onde
. Então
Como
e
são analíticas em
, escrevemos
com
e
.
Passo 3
Ao substituir tudo na equação e reagrupar potências de
, o menor expoente que aparece é
. Note que os termos de
e
contribuem com potências
e
, respectivamente. Então o coeficiente de
vem apenas de
para
, dando
Esta é a equação indicial.
Passo 4
Resolvendo
obtém-se
Resposta
As raízes da equação indicial são
e
.