9.5.2 Tentou-se uma solução de série da Equação (9.80) por expansão em torno do ponto x=x_{0}. Se x_{0} é um ponto ordinário, mostre que a equação indicial tem raízes k=0,1.

Passo 1

Estamos considerando a equação linear de segunda ordem
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0,
e tentamos uma solução pelo método de Frobenius em torno de x=x_{0}. Como x_{0} é ponto ordinário, p e q são analíticas em x_{0} e admitem séries de Taylor convergentes naquela vizinhança. Queremos mostrar que a equação indicial resultante tem raízes k=0 e k=1.

Passo 2

Postulamos
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,(x-x_{0})^{n+k},
onde a_{0}\neq0. Então
y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+k)\,a_{n}\,(x-x_{0})^{n+k-1},
y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+k)(n+k-1)\,a_{n}\,(x-x_{0})^{n+k-2}.
Como p e q são analíticas em x_{0}, escrevemos
p(x)=\sum_{m=0}^{\infty}p_{m}(x-x_{0})^{m}, \qquad q(x)=\sum_{m=0}^{\infty}q_{m}(x-x_{0})^{m},
com p_{0}=p(x_{0}) e q_{0}=q(x_{0}).

Passo 3

Ao substituir tudo na equação e reagrupar potências de (x-x_{0}), o menor expoente que aparece é (x-x_{0})^{k-2}. Note que os termos de p(x)y' e q(x)y contribuem com potências \ge k-1 e \ge k, respectivamente. Então o coeficiente de (x-x_{0})^{k-2} vem apenas de y'' para n=0, dando
(k)(k-1)\,a_{0}=0.
Esta é a equação indicial.

Passo 4

Resolvendo
k(k-1)=0
obtém-se
k=0 \quad\text{ou}\quad k=1.

Resposta

As raízes da equação indicial são k=0 e k=1.

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