9.5.5 Resolva a equação de Legendre

(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+n(n+1) y=0
por substituição direta de série.
(a) Verifique que a equação indicial é
k(k-1)=0
(b) Usando k=0, obtenha uma série de potências pares de x(a1=0).
ypar=a0[1-n(n+1)2! x^2+n(n-2)(n+1)(n+3)4! x^4+cdots],
em que
aj+2=j(j+1)-n(n+1)(j+1)(j+2) aj
(c) Usando k=1, desenvolva uma série de potências ímpares de x(a1=1).
y ímpar =a1[x-(n-1)(n+2)3! x^3+(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)5! x^5+cdots], í
onde
aj+2=(j+1)(j+2)-n(n+1)(j+2)(j+3) aj
(d) Mostre que ambas as soluções, y par e y impar , divergem para x= pm 1 se a série continuar até 0 infinito.
(e) Por fim, mostre que, por uma escolha adequada de n, uma série por vez pode ser convertida em um polinômio, evitando assim a catástrofe da divergência. Em Mecânica Quântica essa restrição de n a valores inteiros corresponde à quantização do momento angular.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Legendre
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + n(n+1),y = 0
e pede (a) achar a equação indicial, (b) desenvolver a solução em série par usando k=0, (c) em série ímpar com k=1, (d) mostrar que essas séries divergem em x=pm1 se forem infinitas, (e) explicar como exigir ninZ faz as séries terminarem, dando polinômios. Vamos usar a técnica de série de potências centrada em x=0:
y(x)=sumj=0^inftyaj,x^j+k!,
substituir em cada termo e igualar coeficientes.

Passo 2

Substituindo
y=sumj=0^infty aj x^j+k, y'=sumj=0^infty (j+k)aj x^j+k-1, y''=sumj=0^infty (j+k)(j+k-1)aj x^j+k-2,
na equação e coletando o menor expoente x^k-2 vem da parte (1-x^2)y'', e o coeficiente de x^k-2 leva a
k(k-1)a0=0
Logo a equação indicial é
k(k-1)=0

Passo 3

Para k=0 temos só potências pares porque ao igualar coeficiente de x^j surge a recorrência
aj+2=j(j+1)-n(n+1)(j+1)(j+2),aj
Como a1 acopla termos ímpares, tomamos a1=0 e a0neq0. Os primeiros termos são
ypar =a0l[1-n(n+1)2!x^2+n(n-2)(n+1)(n+3)4!x^4+cdotsr]

Passo 4

Para k=1 surge a recorrência
aj+2=(j+1)(j+2)-n(n+1)(j+2)(j+3),aj
Aqui devemos tomar a0=0 para eliminar termo par e escolher a1neq0. Os primeiros termos são
yímpar =a1l[x-(n-1)(n+2)3!x^3+(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)5!x^5+cdotsr] í

Passo 5

Cada série tem raio de convergência 1, e em x=pm1 os termos não tendem a zero a não ser que a recorrência gere zeros no numerador. Se a série for infinita, para grande j a razão dos termos tende a 1, então diverge em x=pm1.

Passo 6

Para evitar divergência em x=pm1 basta fazer a série truncar: exigir que o numerador da recorrência se anule para algum j. Ou seja, j(j+1)-n(n+1)=0 na parte par ou (j+1)(j+2)-n(n+1)=0 na ímpar. Isso só ocorre se n for inteiro não-negativo, gerando polinômios de grau n. Em Mecânica Quântica, essa condição é o motivo da quantização do momento angular.

Resposta

(a) A equação indicial é k(k-1)=0.
(b) Para k=0, a solução par é
ypar =a0summ=0^infty a2mx^2m, aj+2=j(j+1)-n(n+1)(j+1)(j+2),aj, a1=0
(c) Para k=1, a solução ímpar é
yímpar =a1summ=0^infty a2m+1x^2m+1, aj+2=(j+1)(j+2)-n(n+1)(j+2)(j+3),aj, a0=0 í
(d) Ambas divergem em x=pm1 se continuarem infinitas, pois o raio de convergência é 1 e a razão dos termos tende a 1.
(e) Escolhendo ninZ>=0 faz a recorrência anular o numerador num certo passo, truncando a série e produzindo os polinômios de Legendre, evitando a divergência.

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