9.5.5 Resolva a equação de Legendre
por substituição direta de série.
(a) Verifique que a equação indicial é
(b) Usando
, obtenha uma série de potências pares de
.
em que
(c) Usando
, desenvolva uma série de potências ímpares de
.
onde
(d) Mostre que ambas as soluções,
e
, divergem para
se a série continuar até 0 infinito.
(e) Por fim, mostre que, por uma escolha adequada de
, uma série por vez pode ser convertida em um polinômio, evitando assim a catástrofe da divergência. Em Mecânica Quântica essa restrição de
a valores inteiros corresponde à quantização do momento angular.
(a) Verifique que a equação indicial é
(e) Por fim, mostre que, por uma escolha adequada de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Legendre
e pede (a) achar a equação indicial, (b) desenvolver a solução em série par usando
, (c) em série ímpar com
, (d) mostrar que essas séries divergem em
se forem infinitas, (e) explicar como exigir
faz as séries terminarem, dando polinômios. Vamos usar a técnica de série de potências centrada em
:
substituir em cada termo e igualar coeficientes.
Passo 2
Substituindo
na equação e coletando o menor expoente
vem da parte
, e o coeficiente de
leva a
Logo a equação indicial é
Passo 3
Para
temos só potências pares porque ao igualar coeficiente de
surge a recorrência
Como
acopla termos ímpares, tomamos
e
. Os primeiros termos são
Passo 4
Para
surge a recorrência
Aqui devemos tomar
para eliminar termo par e escolher
. Os primeiros termos são
Passo 5
Cada série tem raio de convergência 1, e em
os termos não tendem a zero a não ser que a recorrência gere zeros no numerador. Se a série for infinita, para grande
a razão dos termos tende a 1, então diverge em
.
Passo 6
Para evitar divergência em
basta fazer a série truncar: exigir que o numerador da recorrência se anule para algum
. Ou seja,
na parte par ou
na ímpar. Isso só ocorre se
for inteiro não-negativo, gerando polinômios de grau
. Em Mecânica Quântica, essa condição é o motivo da quantização do momento angular.
Resposta
(a) A equação indicial é
.
(b) Para , a solução par é
(b) Para
(c) Para
, a solução ímpar é
(d) Ambas divergem em
se continuarem infinitas, pois o raio de convergência é 1 e a razão dos termos tende a 1.
(e) Escolhendo faz a recorrência anular o numerador num certo passo, truncando a série e produzindo os polinômios de Legendre, evitando a divergência.
(e) Escolhendo