9.5.5 Resolva a equação de Legendre

\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+n(n+1) y=0
por substituição direta de série.
(a) Verifique que a equação indicial é
k(k-1)=0 .
(b) Usando k=0, obtenha uma série de potências pares de x\left(a_{1}=0\right).
y_{\mathrm{par}}=a_{0}\left[1-\frac{n(n+1)}{2!} x^{2}+\frac{n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!} x^{4}+\cdots\right],
em que
a_{j+2}=\frac{j(j+1)-n(n+1)}{(j+1)(j+2)} a_{j} .
(c) Usando k=1, desenvolva uma série de potências ímpares de x\left(a_{1}=1\right).
y_{\text {ímpar }}=a_{1}\left[x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!} x^{3}+\frac{(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!} x^{5}+\cdots\right],í
onde
a_{j+2}=\frac{(j+1)(j+2)-n(n+1)}{(j+2)(j+3)} a_{j}
(d) Mostre que ambas as soluções, y_{\text {par }} e y_{\text {impar }}, divergem para x= \pm 1 se a série continuar até 0 infinito.
(e) Por fim, mostre que, por uma escolha adequada de n, uma série por vez pode ser convertida em um polinômio, evitando assim a catástrofe da divergência. Em Mecânica Quântica essa restrição de n a valores inteiros corresponde à quantização do momento angular.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Legendre
(1 - x^2)\,y'' - 2x\,y' + n(n+1)\,y = 0
e pede (a) achar a equação indicial, (b) desenvolver a solução em série par usando k=0, (c) em série ímpar com k=1, (d) mostrar que essas séries divergem em x=\pm1 se forem infinitas, (e) explicar como exigir n\in\mathbb{Z} faz as séries terminarem, dando polinômios. Vamos usar a técnica de série de potências centrada em x=0:
y(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_j\,x^{j+k}\!,
substituir em cada termo e igualar coeficientes.

Passo 2

Substituindo
y=\sum_{j=0}^\infty a_j x^{j+k},\quad y'=\sum_{j=0}^\infty (j+k)a_j x^{j+k-1},\quad y''=\sum_{j=0}^\infty (j+k)(j+k-1)a_j x^{j+k-2},
na equação e coletando o menor expoente x^{k-2} vem da parte (1-x^2)y'', e o coeficiente de x^{k-2} leva a
k(k-1)a_0=0.
Logo a equação indicial é
k(k-1)=0.

Passo 3

Para k=0 temos só potências pares porque ao igualar coeficiente de x^j surge a recorrência
a_{j+2}=\frac{j(j+1)-n(n+1)}{(j+1)(j+2)}\,a_j.
Como a_1 acopla termos ímpares, tomamos a_1=0 e a_0\neq0. Os primeiros termos são
y_{\text{par}} =a_0\Bigl[1-\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!}x^4+\cdots\Bigr].

Passo 4

Para k=1 surge a recorrência
a_{j+2}=\frac{(j+1)(j+2)-n(n+1)}{(j+2)(j+3)}\,a_j.
Aqui devemos tomar a_0=0 para eliminar termo par e escolher a_1\neq0. Os primeiros termos são
y_{\text{ímpar}} =a_1\Bigl[x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^3+\frac{(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}x^5+\cdots\Bigr].í

Passo 5

Cada série tem raio de convergência 1, e em x=\pm1 os termos não tendem a zero a não ser que a recorrência gere zeros no numerador. Se a série for infinita, para grande j a razão dos termos tende a 1, então diverge em x=\pm1.

Passo 6

Para evitar divergência em x=\pm1 basta fazer a série truncar: exigir que o numerador da recorrência se anule para algum j. Ou seja, j(j+1)-n(n+1)=0 na parte par ou (j+1)(j+2)-n(n+1)=0 na ímpar. Isso só ocorre se n for inteiro não-negativo, gerando polinômios de grau n. Em Mecânica Quântica, essa condição é o motivo da quantização do momento angular.

Resposta

(a) A equação indicial é k(k-1)=0.
(b) Para k=0, a solução par é
y_{\text{par}} =a_0\sum_{m=0}^\infty a_{2m}x^{2m},\quad a_{j+2}=\frac{j(j+1)-n(n+1)}{(j+1)(j+2)}\,a_j,\quad a_1=0.
(c) Para k=1, a solução ímpar é
y_{\text{ímpar}} =a_1\sum_{m=0}^\infty a_{2m+1}x^{2m+1},\quad a_{j+2}=\frac{(j+1)(j+2)-n(n+1)}{(j+2)(j+3)}\,a_j,\quad a_0=0.í
(d) Ambas divergem em x=\pm1 se continuarem infinitas, pois o raio de convergência é 1 e a razão dos termos tende a 1.
(e) Escolhendo n\in\mathbb{Z}_{\ge0} faz a recorrência anular o numerador num certo passo, truncando a série e produzindo os polinômios de Legendre, evitando a divergência.

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